Aratati ca exista o infinitate de multiplii ai lui 17 care se scriu numai cu cifra 8.

[Citat] Aratati ca exista o infinitate de multiplii ai lui 17 care se scriu numai cu cifra 8.

Cu mica teorema a lui Fermat se obtine ca numarul n=88...8 cu 16 cifre de 8 se divide la 17. De aici deducem ca toate numerele de forma 888...88 cu 16k cifre(k natural nenul) se divid la 17.

Consider?m numerele
8,
88,
888,
...
88...8 (18 cifre)

Dou? dintre ele dau acela?i rest modulo 17, deci diferen?a lor e multiplu de 17.
Îns? diferen?a are forma

?i cum 10 ?i 17 sunt prime intre ele, am terminat.

Acum, c? am g?sit un num?r scris doar cu cifra 8 multiplu de 17, putem construi o infinitate, înmul?indu-l cu numere de forma 10^n+1.

De exemplu, dac? 888 s-ar divide cu 17 (?tiu c? nu se divide, dar...) atunci ?i 888*1001=888888 s-ar divide.

EDIT: am mai folosit ideea asta de câteva ori. Am g?sit doar un exemplu http://pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=34272

solutia la care m-am gandit este urmatoarea:

, adica

. Pentru urmatorul multiplu mai adaug inca 16 de 8 ....s.a.m.d