Salutare!
As dori sa aflu cum se rezolva problemele de urmatorul tip: Aflati perioada principala a functiei f:IR -> IR, f(x) = 2sinx + sin3x.
Tot ce stiu este ca o functie are o perioada principala T <=> f(x) = f(x+T). Am incercat sa aduc la o forma mai simpla functia, si sa ma folosesc de faptul ca functia sin are perioada principala 2pi, insa nu am prea reusit.

Multumesc anticipat !

[Citat] Salutare! As dori sa aflu cum se rezolva problemele de urmatorul tip: Aflati perioada principala a functiei f:IR -> IR, f(x) = 2sinx + sin3x. Tot ce stiu este ca o functie are o perioada principala T <=> f(x) = f(x+T). Am incercat sa aduc la o forma mai simpla functia, si sa ma folosesc de faptul ca functia sin are perioada principala 2pi, insa nu am prea reusit. Multumesc anticipat !

Perioada principala - daca exista - este (pentru o functie periodica) cea mai mica dintre perioadele pe care le are functia data.

In cazul de faza, 2 pi este o perioada, deoarece cei doi termeni au aceasta perioada.
Desenam atunci functia data pe [0,2pi] :

Se poate sa avem o perioada mai mica?
De ce nu?
Cum argumentam acest lucru riguros?

[Citat] Perioada principala - daca exista - este (pentru o functie periodica) cea mai mica dintre perioadele pe care le are functia data.

Deci la 2sinx avem perioada T=2*pi iar la sin3x avem perioada 2pi/3 ? (pentru ca 3 * 2pi/3 = 2pi) Sau dezvoltam sin3x si atunci avem 5sinx + 4sin^3(x) si ramanem doar cu perioada 2pi ?

[Citat] Se poate sa avem o perioada mai mica? De ce nu? Cum argumentam acest lucru riguros?

In functie de raspunsurile la cele doua intrebari de mai sus, cred ca as putea sa raspund si la acestea (cu toate ca tind sa cred ca mai mica decat 2*pi nu avem). Cum demonstrez asta.....partea a 2-a....Nu am mai lucrat astfel de probleme si nu stiu ce rezultate sa anticipez, de aceea imi e putin mai greu.

f este periodic? dac?

astfel încât

adic?

(În cele ce urmeaz? toate egalit??ile trebuie s? aib? loc pentru orice x real)

Se transform? diferentele în produse:

Se aplic? formula

pentru

?i se va putea da factor

.
Se ob?ine

Cum func?ia g depinde ?i de x, ea nu se poate anula pentru orice x real.
Rezult? c? factorul care nu depinde de x este 0, adic?

Cea mai mic? perioad? pozitiv? se ob?ine pentru

, deci

Multumesc extrem de mult. Am inteles acum cum se rezolva. O greseala pe care am facut-o eu a fost sa scriu 2sin(x+T)+sin(3x+T), nu am inmultit si acel T cu 3 si am dezvoltat apoi parantezele dupa formula lui sin(a+b). (a iesit o mare harababura)

Iti multumesc inca o data pentru explicatia amanuntita in ceea ce priveste aceasta problema. Succes !