1. Fie f:A->R o functie . Sa se arate ca :
a)f este injectiva daca si numai daca exista functia g:B->A astfel incat gof = cu 1 (jos langa 1 in dreapta ) A
b)f este surjectiva daca si numai daca exista functia h:B-> astfel incat foh=1(jos langa 1 in dreapta ) B

2.Se considera functia f:IR->IR,data prin f(x)= { ax , x<1 bx, x=>1(mai mare sau egal) , a si b fiind numere reale . Sa se studieze monotonia functiei f, dupa valorile lui a si b

[Citat] 1. Fie f:A -> R o functie . Sa se arate ca : (a) f este injectiva daca si numai daca exista o functie g:B->A astfel incat gof = cu 1(A)

Am notat cu 1(A) identitatea lui A.
Dar scriu curand si doar 1... (si aplic pe elemente din A.)

Avem doua implicatii.
Presupunem ca exista g cu ...
(Vrem f injectiva. Care este definitia injectivitatii?! De la definitie aratam...)
Fie a,b (arbitrare) din domeniul lui f cu proprietatea ca f(a) = f(b). (Vrem a=b.)
Aplicam g pe f(a) = f(b). Dam de

gf(a) = gf(b), deci de
1(a) = 1(b), deci de
a = b .
Gata.

Invers, presupunem ca f este injectiva si incercam impreuna sa construim un g.
Sa luam pentru aceasta un exemplu:

f: {1,2,3} -> {1,2,3,4,5,6} cu
f(1) = 3
f(2) = 1
f(3) = 6 .

Cum arata o functie g (una din ele) care are proprietatea data?
Mai exact, unde vrem / putem sa trimitem elementele 1,2,3,4,5,6 spre 1,2,3 astfel incat cele din enunt sa fie satisfacute?

Multumusc de raspuns ! Nu mai trebuie nimic !