[Citat]
1. a) Demonstrati ca nu exista numere naturale x, astfel incat:
5x + 1024 = abcd7
(nr.nat)
|
(Rog a se spatia cat de cat partea cu formulele, altfel e greu de citit...)
Daca 5x sta pentru "5 inmultit cu x", atunci ne uitam la ultima cifra.
5x se termina in 5 sau 0.
1024 se termina in 4.
Adunam. Suma se termina in ...
Daca acum abcd7 sta pe post de numarul de cinci cifre
_____
abcd7
cu cele cinci cifre in ordine a, b, c, d, 7,
atunci nu putem avea egalitatea pentru ultima cifra...
[Citat]
b) Demonstrati ca nu exista numere naturale x, astfel incat:
7 x² + 7x + 5y = 2013
|
Care poate sa fie ultima cifra a numarului 7x(x+1) ?
(Luam pe rand toate posibilitatile pentru ultima cifra a lui x. Daca stim de divizibilitatea modulo 5 lucrurile devin mai usoare.)
[Citat]
2. Aratati ca oricare ar fi numerele naturale pentru care
2x - 3y = 4 ,
numarul
(x-2)(y+2)
este divizibil cu 6.
|
Ajunge (si este necesar in acelasi timp) sa aratam ca numarul este divizibil
cu 2 si cu 3.
Sa observam ca daca y este impar, atunci 3y este impar si egalitatea data nu poate fi satisfacuta (din punctul de vedere al paritatii). Deci y este par.
Deci y+2 este par, deci produsul (x-2)(y+2) este par, divizibil cu 2.
Mai departe, sa observam ca dintre cele trei resturi posibile pe care le poate da x la impartirea cu rest la 3 doar restul 2 intra in discutie.
De aceea x-2 se divide cu 3. Deci si produsul...
[Citat]
3. Determinati x si y stiind ca
x²(y+3) = 864 .
|
Descompunem numarul 864 in factori primi.
Dam de
864 = 2^5 . 3^3
deci x^2 divide acest numar, deci x^2 divide 2^4 . 3^2 (din teorema unicitatii descompunerii in factori primi), deci x divide 2^2 . 3 = 4.3 = 12 .
Divizorii lui 12 sunt
1, 2, 3, 4, 6, 12 .
Pentru fiecare din ei (pe post de x) dam de un y corespunzator...
Access general
Conţine mesaje necitite
