1. Sa se determine functia de gradul al doilea stiind ca admite un maxim egal cu m^2+7m pentru x=m si graficul sau contine punctul M(1, 9m-1 ). Sa se afle apoi valorile lui m(din R) pentru care parabola y=x^2+16 este tangenta parabolei asociate functiei gasite.

2. Sa se determine functia de gradul 2 definita pe R cu proprietatea ca (f compus f)(x)-4f(x^2)+4f(x)=1.


Multumesc anticipat!

[Citat] 1. Sa se determine functia de gradul al doilea stiind ca admite un maxim egal cu m^2+7m pentru x=m si graficul sau contine punctul M(1, 9m-1 ). Sa se afle apoi valorile lui m din R pentru care parabola y = x^2+16 este tangenta parabolei asociate functiei gasite.

Sa incercam impreuna.
Am vazut ca se poate, asadar incepem un mic dialog.

Ceea ce cautam este deci o functie IR -> IR de gradul al doilea.
Forma / formula ei generala este

f(x) = a xx + bx + c
pentru orice x real.

Deci cautam coeficientii a, b, c, pe care ii vedem drept necunoscute.
a nenul desigur.
De fapt avem chiar a < 0,
deoarece functia admite un maxim (nu un minim) absolut.

Faptul ca in m se ia valoarea ... ne livreaza o ecuatie liniara in a, b, c.

Apoi punctul in care se ia minimul este exact intre radacini, in acel -b/(2a) (fara plus/minus-ul din formula pentru radacini...) si mai dam de o ecuatie liniara pentru a, b.

In fine, mai stim ca un punct este pe grafic. Inca o ecuatie.

Care sunt ecuatiile si care sunt solutiile sistemului?
Apoi mai vedem.

[Citat] 2. Sa se determine functia de gradul 2 definita pe R cu proprietatea ca (fof)(x) - 4f(x^2) + 4f(x) = 1 .

Scriem din nou f(x) = axx + bx + c ca mai sus si reformulam ecuatia data.
Dam de ceva de forma "polinom(x) = 1" in care polinomul din stanga are coeficientii ce depind doar de a, b, c.

Identificam...
Ce obtinem?!

1.
-delta/4a=m^2+7m
-b/2a=m
f(1)=9m-1, adica a+b+c=9m-1

Si inlocuim m=-b/2a in celelalte 2 ecuatii?

2.
Nu am inteles. Cum facem cu f(x^2)?

1.
-delta/4a=m^2+7m
-b/2a=m
f(1)=9m-1, adica a+b+c=9m-1

Si inlocuim m=-b/2a in celelalte 2 ecuatii?

2.
Nu am inteles. Cum facem cu f(x^2)?

[Citat] 1. -delta/4a=m^2+7m -b/2a=m f(1)=9m-1, adica a+b+c=9m-1 Si inlocuim m=-b/2a in celelalte 2 ecuatii?

Partea rosie se scrie desigur mai bine altfel.
Anume faptul ca valoarea in m a functiei
axx + bx + c este ...

Dam de trei ecuatii in cele trei necunoscute a, b, c.
Daca a, b, c sunt necunoscutele, este bine sa inlocuim b = -2m a (substitutie) ca sa ne scapam de o necunoscuta. Raman doua...
Apoi din a + b + c = 9m+1 mai putem elimia si a-ul...
Ne ramane o ecuatie in c.

Care sunt cele trei ecuatii (liniare).
Care este solutia acestui sistem liniar?

[Citat] 2. Nu am inteles. Cum facem cu f(x^2)?

Daca scriem
f(x) = ax^2 + bx + c,
cum se rescrie ecuatia data ca o egalitate de polinoame?

(Desigur ca atunci f(x^2) = a (x^2)^2 + b(x^2) + c = a x^4 + bx^2 + c .)

La 1:
f(m)=m^2+7m => am^2+bm+c=m^2+7m
inlocuire b => am^2-2am^2+c=m^2+7m

Cum b=-2am, a-2am+c=9m-1

Din cele 2 relatii daca il scot pe c si egalez relatiile obtinute intre ele da -(a+1)(m-1)^2=0, deci a=-1 si m=1

Deci, b=2 si c=7.

Asa? Am rezolvat exercitiul de mai multe ori inainte de a'l pune pe acest site si mi'a dat mai multe rezultate. Nu mai stiu cum sa rezolv...

La 2:
f(ax^2+bx+c)-4(ax^4+bx^2+c)+4(ax^2+bx+c)=1
a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c-4ax^4-4bx^2-4c+4ax^2+4bx+4c=1
a^3x^4+ab^2x^2+ac^2+2a^2bx^3+2a^2x^2c+2abcx+abx^2+b^x+bc+c-4ax^4-4bx^2+4ax^2+4bx=1

[Citat] La 2: a^3x^4+ab^2x^2+ac^2+2a^2bx^3+2a^2x^2c+2abcx+abx^2+b^x+bc+c-4ax^4-4bx^2+4ax^2+4bx=1

Mai sus este o egalitate polinomiala / identitate polinomiala.
Atunci putem identifica coeficientii din gradele 4, 3, 2, 1, 0.
Dam de un sistem cu multe ecuatii si ceva mai putine necunoscute.
Avem solutii?