Buna ziua, va rog sa ma ajutati cu urmatoarea problema:

Sa se arate ca multimea M = { A apartine M3(R)| A = A^t (transpusa) } este un R- subspatiu vectorial al lui M3(R). Sa se determine o baza a lui M peste R.

Multumesc.

[Citat] Buna ziua, va rog sa ma ajutati cu urmatoarea problema: Sa se arate ca multimea M = { A apartine M3(R)| A = A^t (transpusa) } este un R-subspatiu vectorial al lui M3(R). Sa se determine o baza a lui M peste R. Multumesc.

Sa incercam impreuna.
Daca sunt undeva probleme in ceea ce tiparesc mult si repede, rog a se intreba fara ezitari.

Problema este una tipica pentru structuri algebrice.

In primul rand avem (fara sa ni se spuna) o structura algebrica deja la indemana, cea a matricilor 3x3 cu intrari din R,

V = M3(R)

pentru problema de fata ne intereseaza doar structura de spatiu vectorial peste R a lui V. (Mai avem si inmultirea, alta data...)
Pentru a arata ca M este *sub*spatiu vectorial in V ajunge sa aratam stabilitatea operatiilor (de, legate de spatiu vectorial) din V la M.

Asadar trebuie verificat / pomenit ca:
- adunarea / scaderea a doua matrici din M ramane in M
- inmultirea cu un scalar din R a unei matrici din M ramane in M .
Gata, deja M este subspatiu vectorial.

(Pentru cei versati ajunge sa se spuna ca M este nucleul aplicatiei linare de la V la V care se scrie asa "Identitate - Transpunere".)

Sa ii gasim o baza. (Aici suntem la facultate, asa ca scriu cu termeni la nivel de facultate.)

Notam cu Id : V -> V identitatea.
Notam cu T : V -> V transpunerea.

Observam ca aplicatia
P = (1/2) ( Id - T )
este un "proiector" (de la V la V), i.e. satisface P = PP :

PP
= (1/4) ( Id - T ) ( Id - T )
= (1/4) Id - T - T + TT
= (1/4) Id - T - T + Id
= (1/4) 2( Id - T )
= P .

La fel stau lucrurile si cu
Q = (1/2) ( Id + T ) ,
avem anume QQ = Q .

Mai mult si mai bine, avem P + Q = Id .
Astfel am spart tot spatiul V = M3(R) in doua subspatii ce corespund celor doi proiectori.

Si acum la problema.

Stim ca urmatoarele matrici formeaza o baza IB a lui M peste R:

E11, E12, E13,
E21, E22, E23,
E31, E32, E33.

Sunt in total noua matrici.

Folosind lema substitutiei (Steinitz) de cateva ori, rezulta ca si urmatoarele matrici formeaza o baza:

E11, E12, E13,
E21+E12, E22, E23,
E31+E13, E32+E23, E33.

De fapt eu prefer chiar baza urmatoare IB'

E11, E12-E21, E13-E31,
E21+E12, E22, E23-E32,
E31+E13, E32+E23, E33.

(Este clar ca fiecare matrice din IB' se scrie folosind matrici din IB, invers... avem de vazut ca din x+y si x-y putem face rost liniar de x si y peste R.)

Baza de sus este numai buna si "adaptata celor doi proiectori".

Daca aplicam P-ul si sau Q-ul de ce dam?!

(Aici incepe partea in care lucram impreuna. Rog a se fece propozitii, bune sau rele, toate sunt bune.)

Care este deci dimensiunea lui M?
Care este baza lui?

Dimensiunea lui M ar fi cardinalul unei baze, deci 9, dar nu inteleg cum ar trebui sa aplic P si/sau Q - pe fieacare din matricele bazei?

[Citat] Dimensiunea lui M ar fi cardinalul unei baze, deci 9, dar nu inteleg cum ar trebui sa aplic P si/sau Q - pe fieacare din matricele bazei?

Dimensiunea intregului spatiu de matrici M3(R) este 3x3 = 9.
Matricile simetrice sunt numai o parte, dimensiunea spatiului lor este redusa...

Sa uitam pentru o vreme de multiplicare de matrici.
Tot ce conteaza este faptul ca avem "noua intrari" intre doua paranteze.

Atunci situatia este foarte similara cu cea din spatiul 3-dimensional real,
caz in care ne putem folosi imaginatia geometrica.
Sa ne uitam atunci la o problema similara.

Consideram in spatiul punctelor (x,y,z) , x,y,z reale,
aplicatia INVERS data de
INVERS( x,y,z ) = ( z,y,x )

si multimea

W
cu toate punctele din spatiu pentru care avem
(x,y,z) = INVERS(x,y,z)
si numai cu ele.

Sa incercam sa rezolvam aici aceeasi problema.
In orice caz putem desena si "vedea" (geometric) aplicatia.
Notam cu T = INVERS ca sa avem doar o litera si facem aceleasi constructii cu P si Q ca mai sus.

Care este imaginea lui P?
Care este imaginea lui Q?
Cum se scrie W folosind doar P sau Q? (Si cuvintele imagine / nucleu...)
Care este dimensiunea lui W?

Care este baza lui IR³ care este adaptata proiectiilor P si Q?