Fie

un patrulater convex în care

.


(1) S? se arate c?

este isoscel.

(2) Calcula?i

.

(3) Dac?

este mijlocul lui

, iar

este mijlocul lui

dovedi?i c? punctele

sunt coliniare.

(4) Dovedi?i c?

este tangenta cercului circumscris

.

(5) Determina?i în func?ie de

aria patrulaterului.

(6) Calcula?i sinusul unghiului format de diagonalele patrulaterului.

Sa incercam impreuna... ar fi pacat de problema daca solutia vine toata la un loc.

Pentru inceput eu propun sa vedem problema astfel.
Plecam cu punctele A, B, C ca in problema, incat sa determine un triunghi isoscel cu unghiul din B de 120° si... construim desigur intregul hexagon regulat care le are (in aceasta ordine) pe el. Notam acest hexagon cu

ABCNEF (in ordinea ciclica in care ne vin varfurile, pe N nu l-am inventat eu cu aceasta notatie...)

Notam cu O centrul cercului circumscris hexagonului.

Unde se afla D?
Care sunt TOATE triunghiurile echilaterale (de latura AB) care pot fi formate cu literele deja inventate?

(Cat de poate de multe descrieri ale modului de constructie a lui D sunt binevenite!)

Cum se rezolva atunci primul punct?

(1)

este echilateral de latur?

.

Ar?t?m c?

?

(2)

?

(3)

este linie mijlocie în

, rezult?

. Dar în hexagonul

avem c?

. Din cele dou? rela?ii rezult? c? punctele

sunt

coliniare.

(4) Blocaj...

[Citat] (1) este echilateral de latur? . Ar?t?m c? ? (2) ? (3) este linie mijlocie în , rezult? . Dar în hexagonul avem c? . Din cele dou? rela?ii rezult? c? punctele sunt coliniare. (4) Blocaj...

Cele sapte triunghiuri echilaterale, desi nu avem nevoie stringenta de ele:
AOB
BOC
CON
NOE
EOF
FOA si DNE.

Eventual mai lipim si colturile care lipsesc.

(1) Da!
(2) Da! Ducem din D sau din O perpendiculara pe AB. Dam de un punct P.
Tangenta lui PAO este radical(3).
Tangenta lui PAD este de trei ori mai mare (trei triunghiuri echilaterale pe drumul de la P la D), deci 3.radical(3).

Tangenta lui <(PDA) = <(PDA) este atunci t, inversul acestui numar. Deci

t² = 1/27 .

Cosinusul unghiului dublu este
( 1-t² ) / ( 1+t² )
= (26:27) / (28:27)
= 26 / 28
= 13 / 14 .

(3) Da!
(4) Nu! Care este masura unghiurilor care au ceva de-a face cu arcul de cerc trasat imaginar de la M la D?

[Citat] (4) Nu! Care este masura unghiurilor care au ceva de-a face cu arcul de cerc trasat imaginar de la M la D?

, de unde rezult? c?

iar de aici este gata si (4).

(5) Dac? nu am gresit la calcule, aria este

.

(6) Sinusul unghiului format de diagonalele patrulaterului are valoarea

?

[Citat] ... iar de aici este gata si (4).

Sau ne uitam la cele doua paralelograme
BCDE si
NAFD
care sunt facute la fel din triunghiuri echilaterale
si la diagonalele lor...

[Citat] (5) Dac? nu am gresit la calcule...

Dupa parerea mea, rezultatul final este mai putin important (aici, in conditii de teza sau olimpiada doar el si drumul spre el conteaza insa).

Mie mi s-a parut mult mai important sa vedem din figura ca
- daca notam cu /A aria unui triunghi echilateral de latura a -
aria ceruta se compune din

cele trei triunghiuri echilaterale care formeaza trapezul ABCN

si jumatate din cele patru triunghiuri echilaterale care formeaza paralelogramul ANDF .

Dam deci de 5 /A - uri...
Ca mai sus.
(Nu vad insa nici un fel de calcule.)

[Citat] (6) Sinusul unghiului format de diagonalele patrulaterului are valoarea ?

[Citat] Sa incercam impreuna... ar fi pacat de problema daca solutia vine toata la un loc. Pentru inceput eu propun sa vedem problema astfel. Plecam cu punctele A, B, C ca in problema, incat sa determine un triunghi isoscel cu unghiul din B de 120° si... construim desigur intregul hexagon regulat care le are (in aceasta ordine) pe el. Notam acest hexagon cu ABCNEF (in ordinea ciclica in care ne vin varfurile, pe N nu l-am inventat eu cu aceasta notatie...)

Frumuse?ea rezolv?rii propuse de dumneavoastr? a plecat de la aceast? idee.
V? mul?umesc.