(1a) Pentru x>0 avem exp(-x) < exp(0) = 1 si sinusul se plimba intre -1 si 1 .
(1b) Trebuie sa derivam. Derivata este
exp(-x) ( -sin x + cos x ) .
Deoarece ( -sin x + cos x ) se afla intre -radical(2) si radical(2) am terminat.
Pentru a vedea acest lucru putem de exemplu sa inmultim si impartim cu sin(pi/4) = cos(pi/4)
si sa scriem paranteza drept cos( x + pi/4 ) / cos(pi/4) .
(1c) Trebuie sa mai derivam o data.
Cel mai usor derivam daca vedem functia data drept partea imaginara a lui
exp( x(-1+i) ) .
Derivam de doua ori si dam de factorul (-1+i)² = 1-2i-1 = -2i .
Deci f'' = -2f si inegalitatea de demonstrat este deja clarificata la (1).
Acest mod de derivare este motivat riguros doar la nivel de facultate.
La nivel de liceu trebuie sa derivam obisnuit.
Dar este bine sa vedem functiile de forma produs de exp cu sin sau cos ca provenind dintr-o functie exponentiala in numere complexe prin relatia lui Euler:
exp(it) = cos t + i sin t .
De exemplu derivatele functiilor sin si cos se obtin identificand partea reala si cea imaginara in
( exp(it) )' = i exp(it) , adica
cos' t + i sin' t = i( cos t + i sin t ) .
(2) Avem derivata si am vazut ca ecuatia f'(x) = 0 se reduce la
cos( x + pi/4 ) = 0 .
cos este o functie periodica si pe fiecare perioada dam de doua puncte de anulare la distanta pi unul de altul.
Pentru a vedea daca avem minim relativ sau maxim relativ sau inflexiune trebuie sa ne legam de derivata secunda in punctele de anulare.
Dam de o progresie aritmetica destul de repede.
Care este aceasta explicit?
(3) Trebuie sa mai calculam valorile lui f in punctele din aceasta progresie aritmetica.
Access general
Conţine mesaje necitite
