Buna ziua! As prefera, daca se poate, o solutie scurta pentru urmatoarea inegalitate de demonstrat:

.

Am incercat mai multe lucruri. De exemplu, fractia este

, dar suma dintre sinusul unghiului si cosinusul lui este

. M-am gandit sa o ridic la patrat, dar nu am avut incredere ca voi izbuti chiar daca

. Sau notatiile

. Iar o interpretare geometrica nu cred ca m-ar ajuta, dar va voi astepta raspunsul. Multumesc anticipat!

[Citat]

Nota:
Cele de mai sus se tiparesc cel mai usor *nu* folosind continuu {x}-ul acela, deci

\sin{x} + \cos{x} + \frac 1{\sin{x}\cdot\cos{x}}

ci pur si simplu luand x in loc, deci

\sin x + \cos x + \frac 1{\sin x\cdot\cos x}

Va multumesc pentru solutia postata. Sper sa nu abuzez de timpul dumneavoastra, dar ati putea incerca, va rog, sa postati o solutie folosind materie de olimpiada? Sunt in clasa a VIII-a(sau eram), iar problema am gasit-o intr-o culegere de a VIII-a, de olimpiada. La spate voi gasi cu siguranta solutia, dar prefer sa nu ma uit. Se folosesc probabil inegalitati remarcabile. Inca nu cunosc derivarea.
Multumesc anticipat!

O sa postez o solutie care se bazeaza exclusiv pe inegalitatea dintre media aritmetica si cea geometrica.

Observam ca avem de demonstrat o inegalitate care poate prezenta un caz de egalitate. Acest lucru este determinant in modul in care decurge solutia de aici (lucru pe care s-a bazat si domnul gauss in demonstratia sa).
Se vede ca in x=pi/4 se obtine cazul de egalitate.

Incep cu solutia:

Multumesc mult! Am inteles.

La nivelul clasei a VIII-a mi se pare cam exagerata cererea de rezolvare.
Desigur ca se poate da o solutie care sa nu depaseasca nivelul, cel putin in ceea ce avem de-a face cu posibilitatea de parcurgere a solutiei pas cu pas, dar maturitatea matematica necesara pentru a scrie aceasta solutie este mult peste nivelul clasei a VIII-a.

O sa mai scriu cateva lucruri nematematice, cer scuze...

Este bine de stiut ca in matematica exista procedee standard de rezolvare a inegalitatilor.
Un elev de clasa a VIII-a sau a IX-a are doua sanse.
Fie invata cat se poate de multe trucaje si moduri de invartire - este cazul meu,
fie incearca de pe a IX-a sa vada cum merge masinaria generala de calculare de minime / maxime, cuvinte cheie: derivare si gasire de puncte de minim maxim (local) prin rezolvarea de ecuatii.

Fara indoiala, ambele directii merita atentie, dar pentru formatia matematica conteaza mai mult intelegerea analizei si a metodei care merge cat mai general. Indemanarea de repunere pe pagina a formulelor este de asemenea importanta, ca exprienta matematica. Este ceea ce se invata acum cel mai bine in Romania din Gazeta.

Solutia de mai sus este excelenta.
O putem in primul rand urmari la nivel de clasa a IX-a fara probleme, ea vine si cu explicatia pentru acea prima si ultima spargere in doua bucati care au maximul separat in acelasi punct. Excelent. Insa in spatele acestei solutii este o experienta mare legata de inegalitati. Daca este vorba de dat doar o solutie, da, cele de mai sus sunt o solutie, dar daca ne uitam doar asa nu devine clar cata munca si experienta e in spatele solutiei.

Deoarece eu sunt un algebrist mai mult (sau mai putin), am cautat si eu solutia simpla, dar nu am gasit-o de asa natura incat sa o pot prezenta simplu.
Asadar am dat solutia naturala pe care orice elev de clasa a XI-a ar fi dat-o.

Bun, incerc sa dau acum solutia pe care nu am dat-o. Trec la LaTeX.

In cazul de fata, este bine sa se vada imaginea de ansamblu.
Aici sunt doua solutii de clasa a VIII-a, ambele usor de inteles, dar greu de gasit in cazuri similare (in care exista o solutie asemanatoare).
Este nevoie de multa ingeniozitate (pentru cealalta solutie oricum! eu nu as fi putut-o gasi) si pe clasa a IX-a toata priceperea si toata indemanarea devin ``perimate'', deoarece solutia bruta este intotdeauna usor de gasit si aproape preplanificata...

As dori sa vad si solutia din barem, daca este posibil, desigur.

Ca la clasa a VIII-a:

Vom avea nevoie de inegalitatea

care la clasa a IX-a este evident? iar la clasa a VIII-a proced?m a?a:




Acum folosim mai întâi inegalitatea mediilor ?i avem:

Am folosit ?i faptul c?, pentru

.