[Citat]

Sa notam cu H(n) numarul armonic obtinut facand suma inverselor numerelor
1,2,3, ... , n .

Se stie ca H(n) - ln n converge la "ceva":
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant

Este natural atunci sa incercam sa "completam cu logaritmi".
Prima paranteza are ceva de-a face cu H(6n) si H(3n) .
A doua paranteza are ceva de-a face cu H(2n) .

Care este deci limita?

[Citat]

Care este deci limita?

Pentru z :: Incercam sa punem in evidenta o suma Riemann.
Asa ca scoatem un (1/n) factor fortat in afara sumei si incercam sa grupam sub radical doar functii de (k/n).

Cu numaratorul de sub radical nu avem probleme,
dupa ce fortam factorul n^4 atat in numarator cat si in numitor. Dam de

1 +(k/n)² .

In numitor dam de

1 + k/n² .

Desigur ca ajunge sa incadram aceasta expresie intre

1 + 0/n² si 1 + n/n² .

[Citat] Apoi pentru $y_n(0)$ avem o suma {\scshape Riemann}. [/equation]

De ce s? mai vorbim de sume Riemann dac? am pomenit de H(n)-lnn?

... am vrut doar sa dau trei drumuri diferite pentru trei probleme asemanatoare.
Pentru x a trebuit sa fac apel la H(n) - ln(n), gruparea de sume Riemann era cam artificiala...

Pentru sirul y mi s-a parut argumentul cu sume Riemann mai economic, sunt putini elevii care au auzit (sau trebuie sa fi auzit) de "gamma".

(De asemenea, pentru y se putea proceda si altfel pentru a ne reduce la sume armonice partiale, incadrand acel pi intre 3 si 4, lasand primii 3-4 termeni la o parte si vazand suma armonica... M-am abtinut...)

In orice caz, legatura cu H(2n) - H(n) face drumul solutiei simplu si estetic.

(La z nu am vazut insa alt drum, asa ca am pregatit terenul cu y-ul.)

Multumesc pentru indicatii!Am obtinut:

si

dar pentru z_n nu am gasit nimic !

buna seara
Cum s-ar putea rezolva prima limita Xn utilizand sume Riemann?
Multumesc

si la fel si pentru Yn?

[Citat]

Pentru sirul x nu se poate cu sume Riemann, mi s-a parut ca se poate ceva, dar nu se poate... Cer scuze.

(Eu mai confund oricum in exprimare sumele Riemann cu functia zeta a lui Riemann ori de cate ori intervine gamma...)

Pentru sirul y, cu pi-ul acela, putem scrie (mai) direct

(Si pentru z puteam sa ne legam de o alegere echidistanta a punctlor de taiere, dar apoi punctele intermediare nu ar fi exact la una sau alta din extremitati. Insa prezentarea este mereu mai dificila, dupa cum se vede mai sus, pentru ca trebuie sa ne facem mainile murdare si sa spunem care diviziune o luam cu ce puncte intermediare si de ce sunt aceste puncte chiar intermediare.)