Fie functia f:C-C,f(x)= x la puterea a 3-a.Dem ca functia nu este injectiva si surjevtiva.

Functia f nu este injectiva deoarece

f(1) = f( cos(2pi/3) + i sin(2pi/3) ) .


Functia f este insa surjectiva.
In primul rand f(0) = 0.
Pentru orice alt punct z din planul complex C folosim reprezentarea trigonometrica

z = r ( cos a + i sin a )

unde r>0
si a se afla in [ 0, 2pi ) .
Atunci punctul

w = r^(1/3) ( cos(a/3) + i sin(a/3) )

este trimis prin f in z, de Moivre.

La partea cu surj nu am inteles... poti sa imi explici mai pe lung.

Sa ne legam atunci de un exemplu explicit.
De care numar complex sa ne legam, pentru a-i gasi o "preimagine prin f" (una din cele trei, daca numarul nu este nul) ?

Cred ca daca rezolvam un astfel de caz explicit devine clar si cazul general...

Sa iti spun ce am inteles si daca gresesc ma corectezi.
Eu am inteles ca o functie sa fie surjectiva inseamna ca f(x)=y,aceasta ecuatie,sa aiba cel putin o solutie( 1,2,3 samd)
In cazul de fata x la cub =y;in transformam pe y sub forma trig si aflam ca are 3 ecuatii de obicei complexe.
Exista insa un caz mai special ,cazul in care y=0,si ecuatia are 1 singura solutie,insa tot verifica definitie(cel putin 1) =) rez ca functia e surj



Am inteles sau e un rationament gresit datorita neintelegerii surjectivitatii?