Într-un poliedru convex, suma tuturor unghiurilor plane adiacente vârfurilor sale, cu excep?ia unuia, este 5160º. Cât este suma unghiurilor plane adiacente vârfului exceptat?

[Citat] Într-un poliedru convex, suma tuturor unghiurilor plane adiacente vârfurilor sale, cu excep?ia unuia, este 5160º. Cât este suma unghiurilor plane adiacente vârfului exceptat?

B?nuiesc c? "unghiurile plane adiacente unui vârf al poliedrului" înseamn? unghiurile fe?elor poliedrului ce au vârful în acel vârf al poliedrului.

Dac? da, atunci acest poliedru are 17 vârfuri ?i suma cerut? este 240 grade.

Corect. De ce e a?a?

[Citat] Corect. De ce e a?a?

Suma unghiurilor fe?elor unui poliedru este 360(n-2) grade, unde n este num?rul vârfurilor sale. Nu ?tiu dac? este men?ionat pe undeva, dar se poate demonstra u?or dac? ?inem cont de faptul c? orice poliedru convex se poate ob?ine dintr-un tetraedru sec?ionându-l cu un plan de un num?r finit de ori.

[Citat] se poate demonstra u?or dac? ?inem cont de faptul c? orice poliedru convex se poate ob?ine dintr-un tetraedru sec?ionându-l cu un plan de un num?r finit de ori.

A? fi curios s? v?d o schi?? a demonstra?iei.

[Citat] Suma unghiurilor fe?elor unui poliedru este 360(n-2) grade, unde n este num?rul vârfurilor sale.

Demonstratie:
Sa notam cu
S0 = numarul de simplici 0-dimensionali (varfuri) ai (ale) poliedrului,
S1 = numarul de simplici 1-dimensionali (laturi) ai (ale) poliedrului,
S2 = numarul de simplici 2-dimensionali (fetze) ai (ale) poliedrului.

Atunci relatia lui Euler nu spune altceva decat faptul ca numarul caracteristic
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic

chi = S0 - S1 + S2

este acelasi ca numarul calculat dupa inlocuirea poliedrului (convex dat) cu unul topologic echivalent, de exemplu cu ceea ce dam daca ne legam de un tetraedru, anume de
4 - 6 + 4 = 2.

Sa vedem acum cum stam cu unghiurile.
Avem S2 fetze, sa le ordonam cumva si sa notam provizoriu cu
n(1), n(2), ... , n(S2)
numarul de laturi
(si varfuri, dar cu varfurile nu ne aranjam asa de bine / homogen, pentru ca un varf poate fi comun la 3,4,5,... fetze, dar o latura...)
pe care le avem pe fatza numerotata cu 1, 2, ... , S2 .

Atunci suma tuturor unghiurilor se obtine insumand
( n(1) - 2 ) 180°
( n(2) - 2 ) 180°
:::::::::::::::::
( n(S2) - 2 ) 180°
si ne uitam la ce obtinem. Dam factor comun 180°.

Suma n(1) + n(2) + ... + n(S2) este dublul sumei laturilor,
2 . S1
deoarece fiecare latura se afla la imbucatura a exact doua fetze.

-2 apare de S2 ori.

Dam de 180° ( 2 S1 - 2 S2 ) si mai ramane sa folosim relatia lui Euler.

Asta e, m? rog, pu?in mai complicat? prin denumiri,etc, demonstra?ia standard (de la Descartes citire http://www.neubert.net/DESCarte.html).

Eram interesat s? v?d o solu?ie bazat? pe

[Citat] faptul c? orice poliedru convex se poate ob?ine dintr-un tetraedru sec?ionându-l cu un plan de un num?r finit de ori.

[Citat] [Citat] se poate demonstra u?or dac? ?inem cont de faptul c? orice poliedru convex se poate ob?ine dintr-un tetraedru sec?ionându-l cu un plan de un num?r finit de ori. A? fi curios s? v?d o schi?? a demonstra?iei.

Când m-am apucat de scris am constatat c? în citatul de mai sus nu trebuia pus cuvântul "u?or".
Am s? revin peste o s?pt?mân? (dup? ce scap de musafirii mei). Sper s? pot termina demonstra?ia pe care am început-o (prin induc?ie dup? num?rul vârfurilor poliedrului).

[Citat] Eram interesat s? v?d o solu?ie bazat? pe [Citat] faptul c? orice poliedru convex se poate ob?ine dintr-un tetraedru sec?ionându-l cu un plan de un num?r finit de ori.

Întorcând mititeii pe gr?tar, mi-a venit ideea de rezolvare urm?toare:

Problem?: S? se arate c? suma unghiurilor fe?elor unui poliedru convex cu n vârfuri este

.
Demonstra?ie:
Mai întâi s? observ?m c? orice poliedru se ob?ine pornind de la un tetraedru ?i ad?ugând pe rând câte un alt tetraedru de un num?r finit de ori. Pentru ca poliedrul s? fie convex, trebuie ca la fiecare pas, tetraedrul ad?ugat s? aib? o fa?a comun? cu corpul precedent, ?i interiorul s?u s? nu fie intersectat planele fe?elor acestuia.(am ad?ugat în urma observa?iilor domnului Enescu)
Not?m cu

poliedrul convex cu n vârfuri, ?i cu

suma unghiurilor fe?elor sale.
Demonstr?m problema prin induc?ie dup? n.
- Evident

este tetraedrul ?i

.
- Presupunem c? pentru

avem

. Trebuie s? ar?t?m c?

are

.
Corpul

se ob?ine lipind la

un tetraedru astfel ca o fa?? a tetraedrului s? coincid? cu o fa?? a lui

.

a ?pierdut? fa?a pe care s-a lipit tetraedrul, dar a primit în schimb trei fe?e ale tetraedrului, deci în total are în plus fa?? de

dou? fe?e triunghiulare, deci a crescut cu

, de unde

.
Poate apare ?i cazul în care una din fe?ele tetraedrului ad?ugat este coplanar? cu o fa?? F a lui

. În acest caz,

are în plus fa?? de

o fa?? triunghiular? (deci are în plus

de aici), iar fa?a F a lui

, a are la

o latur? în plus, deci suma unghiurilor sale cre?te cu

. Astfel

este cu

mai mare decât

.
- Principiul induc?iei matematice ne d? dreptul s? spunem c? am demonstrat formula

, pentru

.

[Citat] orice poliedru se ob?ine pornind de la un tetraedru ?i ad?ugând pe rând câte un alt tetraedru de un num?r finit de ori.

P?i atunci, privind la ultimul tetraedru ad?ugat, poliedrul nostru va avea un vârf în care se întâlnesc 3 muchii. Dar nu orice poliedru are proprietatea asta (a se vedea, de exemplu, icosaedrul).

Sau nu am în?eles eu procesul de "ad?ugare"...

[Citat] P?i atunci, privind la ultimul tetraedru ad?ugat, poliedrul nostru va avea un vârf în care se întâlnesc 3 muchii. Dar nu orice poliedru are proprietatea asta (a se vedea, de exemplu, icosaedrul). Sau nu am în?eles eu procesul de "ad?ugare"...

Nu este adev?rat. S? ne gândim doar la faptul c? afirma?ia mea este echivalent? cu: "Orice poliedru se poate descompune într-un num?r finit de tetraedre". Doar c? am dat enun?ul invers.