Sa se studieze compatibilitatea sistemului de ecuatii:

[Citat]

In primul rand ne uitam la subsistemul liniar format din primele trei ecuatii.
Determinantul sistemului este
(m-1)(m-1)(m+2)
deci cu exceptia valorilor 1 si -2 pentru m, sistemul are solutie unica.
Daca (x0,y0,z0) este o solutie, atunci si orice permutare a acestor valori este o solutie, din unicitate dam de x0 = y0 = z0.

Ne uitam si la ultima ecuatie.
Rezulta in plus acum
x0 = y0 = z0 = (plus/minus) 1 / radical(3) .

De aici dam doar de doua valori ale lui m pentru care avem solutie.
Mai ramane sa luam la mana celelalte doua cazuri, m=1 si m=-2.

In primul caz dam de doua ecuatii in x,y,z,
x + y + z = 1 si
x² + y² + z² = 1
si vedem o solutie, (1,0,0), care ajunge pentru scopurile problemei.
Multimea solutiilor este desigur infinita, putem sa o vizualizam in spatiu ca fiind multimea punctelor de pe sfera unitate din spatiu care se afla in planul ce trece prin cele trei puncte de in care se infig axele in sfera, anume
(1,0,0),
(0,1,0),
(0,0,1).

In cazul cu m=-2 trebuie sa ne legam de
x - 2y + z = 1
x + y - 2z = 1
-2x + y + z = 1
x² + y² + z² = 1 .

Scadem primele doua ecuatii pentru a vedea ca avem y = z .
Prin simetria deja observata, x=y=z.
Prima ecuatie devine 0 = 1. Nu se poate.