Eu as aplica-o. Nu inteleg ce ne poate opri...

Daca x tinde la 0, sin de 0 grade este egal cu 0. De ce mai ai nevoie de regula lui Hopital care inseamna infinit pe infinit(si apoi derivata functiei) ?!

Scriu exact citatul de unde am aflat acest lucru:

Ma gandesc ca se stie faptul ca (sin x)'=cos x, iar limita nu "se aplica" dupa ce se fac ambele derivari?

Am inteles, situatia in care ne aflam in cazul problemei este una deosebita.
Se pare ca nu stim care este derivata functiei sin.

In cursuri, in manuale, ne aflam deseori in cazul de fata in care nu stim nimic si vrem sa aflam ceva. De exemplu, daca nu stim ca sin' = cos, nu putem aplica l'Hospital.

Cum calculam atunci limita de mai sus, care este exact limita de definire a lui
sin'(0) ?

Raspunsul poate fi dat doar daca stim exact cum am definit sin(x) in manualul respectiv. Daca definitia este geometrica, trebuie sa vedem mai indeaproape cum trecem la limita in acel triunghi dreptunghic construit in interiorul cercului trigonometric poate. Daca definitia este cea din facultate,

atunci argumentul este cel de majorare a expresiei
| ( sin(x) - x ) / x |
(cu |x| de exemplu, ca sa fim generosi )
pentru valori ale lui x care sunt intre -1 si 1.

Cele doua inegalitati care plaseaza
- x² , sin(x)-x si + x²
in aceasta ordine pe axa le facm rost considerand doua functii diferenta si studiindu-le monotonia.

(Dar studiul monotoniei fara derivate... La facultate totul se face cel mai bine prin calculul din prima pentru sin, sin', co, cos'. Mai sus trebuie sa folosim de aceea inegalitati, de exemplu putem vedea ca pentru x din (0,1) avem x^3 / 3! > x^5 / 5! si grupam doua cate doua expresiile ...)