[Citat]

Deoarece A este facut din numere mai mici sau egale cu 1, sup A este mai mic sau egal cu 1. Ajunge sa realizam cumva acest 1, pentru a vedea ca sup A = 1 .
Luam atunci a = pi/2 .
Supremumul se ia pentru acest a dintr-o multime (cu trei elemente) ce contine si 1, deci este 1.

Am terminat cu

sup A = 1 .

Sa incercam sa calculam inf A .
Sa fixam asadar un numar
a
in intervalul ( 0, pi ) .

Daca a este de forma
x pi , x irational,
atunci ne putem apropia suficient de bine folosind p din ZZ
cu p x pi
de numere de forma ( N + 1/2 )pi .
Folosim un argument de "densitate" care este cunoscut.

Supremumul corespunzator este 1 .

Daca a este de forma
r pi , r rational,
r = P/Q fractie ireductibila, i.e.
P, Q numere naturale prime intre ele, 0 < P < Q,

atunci este clar ca avem doar un numar finit de puncte de care ne legam in calculul supremumului dupa p, anume luam

sup ( sin( k pi / Q ) unde k se plimba de la 1 la (Q-1) fiind prim cu Q )

Cazul P=1 , Q=2 il analizam si ne declaram (ne)multumiti.

Celelalte cazuri.
Sub supremum avem proiectiile pe axa Oy ale punctelor dintr-un poligon regulat cu Q varfuri
inscris in cercul trigonometric (cel de centru O = (0,0) si raza 1),
varfuri care nu vin dintr-un poligon regulat de dimensiune mai mica.
Si ne-am restrans doar la varfurile cu proiectia pozitiva,
deoarece in curand luam un supremum.

Daca poligonul regulat are un numar de varfuri divizibil cu 4, atunci trece prin (0,1), supremumul corespunzator este 1, ne declaram (ne)multuumiti.

Daca poligonul regulat are un numar de varfuri impar, il dublam fara a "urca mai sus".

Dintre poligoanele regulate
cu 3 sau cu 6 laturi,
cu 5 sau cu 10 laturi,
cu 7 sau cu 14 laturi,
cu 9 sau cu 18 laturi,
cu ...

care ajunge cel mai sus (in proiectia varfurilor pe axa Oy, intr-un punct k pi / Q unde k si Q ...)
intr-un punct cat se poate de jos?

Care este inf A ?

[Citat]

O sa incerc sa spun care este legatura si care este discrepanta.
Sa zicem ca avem multe multimi

A(1), A(2), ... , A(n) , ...

daca aceste multimi nu au de satisfacut nimic "impreuna, in ansamblu",
atunci numerele
inf A(1), inf A(2) , ... , inf A(n)
nu au nici ele nimic particular. Pot fi urate si atat.

Daca insa avem un lant de incluziuni insa, sa zicem ca avem

A(1) contine A(2) contine ... contine A(n) contine ...

atunci trecand la inf dam de un lant de inegalitati...
Trecand la sup de asemenea.

In ambele cazuri avem un sir monoton.
Un capat (inf respectiv sup) al acestui sir monoton este clar,
daca vrem sa vedem cum stau lucrurile cu "celalalt capat" (sup respectiv inf) dam de un lucru deosebit in analiza...

Morala este simpla:
inf din inf ... este inf.
inf din sup ... este ceva interesant.

In orice caz, aceasta structura apare asa doar din faptul ca daca luam un sir si ne uitam la un fel de "filtru" a ceea ce se intampla "departe", deci daca neglijam aspecte legate de "primii cativa termeni", suntem condusi la constructiile de liminf si limsup in mod natural.


Dar in cazul problemei initiale nu avem asa ceva.
Ce avem?
Avem de luat supremumul lui A.
Cine este A? Este o multime de numere f(a) unde a se plimba in ( 0 , pi ) .
Dar f(a) si f(b) nu au (aproape) nimic de-a face unele cu altele.
In orice caz nu putem spune ca daca a < b atunci f(a) este mai cumva decat f(b) .

(Dar daca a este o parte intreaga din b...)

Nu am definit acest f, este o functie care se extrage usor din enunt.
Acum mai am doar o rugaminte, anume sa incercam sa transam impreuna urmatoarele cazuri foarte particulare:

Care este valoarea lui f in pi/2 ?
Care este valoarea lui f in pi/3 ?
Care este valoarea lui f in pi/4 ?
Care este valoarea lui f in pi/5 ?
Care este valoarea lui f in pi/6 ?
Care este valoarea lui f in pi/7 ?
Care este valoarea lui f in pi/8 ?
Care este valoarea lui f in pi/9 ?
Care este valoarea lui f in pi/10 ?

Dar in 1 ?