Un trunchi de piramida are toate muchiile de lungimi 1 sau 2. Sa se arate ca trunchiul are cel mult 24 de varfuri.

Deocamdat? am g?sit o solu?ie care se bazeaz? pe dubla inegalitate

Care e sursa problemei?

Problema este din gazeta 3/2000 si este de la probleme pentru liceu.

Domnule Enescu, daca nu este prea mare deranjul, nu ati putea sa imi mai dati si o alta indicatie decat acea inegalitate? As fi foarte recunoscatoare!

Nu era, de fapt, o indica?ie. Ceea ce urmeaz? este.

Ideea e simpl?: fe?ele laterale ale trunchiului sunt evident trapeze isoscele, cu baza mare=2 ?i baza mic?=1.

Fie V vârful piramidei din care provine trunchiul, AB o latur? a bazei ?i O proiec?ia lui V pe planul bazei. E u?or de ar?tat c? piramida este regulat?.

Sunt 2 cazuri:

-laturile neparalele sunt de lungime 1. Atunci triunghiul VAB este echilateral. Cum evident unghiul AVB < unghiul AOB, deducem c? AOB>60, deci baza e un poligon regulat cu cel mult 5 vârfuri. Atunci num?rul de vârfuri ale trunchiului este cel mult 10.

-laturile neparalele sunt de lungime 2. Atunci cât este unghiul AVB, cât poate fi AOB ?i c?te laturi poate avea baza?