lim?(n??)??_0^(?/3)?(?sin?^n x)/(?sin?^n x+?cos?^n x) dx


ma puteti ajuta cu problema 650 din culegerea de admitere 2013 universitatea tehnica cluj

Problema nu este tocmai bine citibila.
Inainte de toate sa clarificam enuntul:

[Citat] Sa se calculeze

(Rugaminte / sfat: Cele de mai sus au fost scrise usor folosind LaTeX. Intelegera modului cum se scriu astfel de formule in LaTeX este un lucru util in viata si ne-ar ajuta de exemplu in comunicare...)

Solutia nu este poate chiar asa de importanta,
mai importanta este cautarea ei.

Prima intrebare pe care trebuie sa o clarificam este urmatoarea:
Sa zicem ca fixam un x nenul din intervalul pe care integram.
Care este limita expresiei dupa integrala pentru acest x si pentru n care tinde la infinit?

Nu am scris pana acum o expresie pe acest forum. Nu am inteles ce trebuie facut, eu foloseam editorul de ecuatii iar aici nu stiu cum. Totusi care ar fi solutia. Ei dau ca solutie pi/12

Intre timp au mai aparut cateva linii pe forum, asadar nu mai sta nimic in calea unei solutii.

In primul rand insa, este bine de stiut ca la facultate avem o teorema foarte puternica, teorema de convergenta dominata a lui Lebesgue, care ne spune ca in cazuri de dominare a functiei de integrat in modul cu o functie integrabila, atunci putem trece limita *punctual* sub integrala.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem

La noi, functia de integrat se afla intre 0 si 1, desigur ca putem integra 1 de la 0 la pi/3 si dam de "ceva finit", aceasta este singura conditie de dominare.

Solutia care foloseste Lebesgue este:

Daca nu am ajuns inca la facultate avem nevoie de un substitut pentru cele de sus. De obicei, daca vedem ca o parte importanta se anuleaza, putem sa incercam cu mana sa demonstram anularea.

Putem atunci argumenta riguros la nivel de liceu in modul care urmeaza:

cred ca mai simplu era cu teorema de medie pe cele doua intervale. multumesc pentru ideea de impartire.

[Citat] cred ca mai simplu era cu teorema de medie pe cele doua intervale. multumesc pentru ideea de impartire.

Bun si cum merge cu teorema de medie?!
(Desigur ca nu putem lua ceva intermediar bun pentru toate n-urile...)