Foarte clar. Cum se cheama programul de calculat?

As mai avea cateva intrebari in legatura cu Taylor series...


Toate functiile pot fi aproximate?
Conteaza unde luam punctul pentru a aproxima functia? are vreo relevanta?
Polinomul ce aproximeaza functia este mereu mai mic sau egal decat functia, sau poate sa o depaseasca? spre exemplu exista vreo functie f(x) a.i aceasta sa fie mai mica decat aproximarea taylor?

[Citat] Foarte clar. Cum se cheama programul de calculat?

Codul de mai sus vine dintr-un programel mic,
pari/gp
http://pari.math.u-bordeaux.fr/download.html
pagina de mai sus ofera un download rapid al unui programel mic si efectiv,
deseori, fiind la serviciu, este singurul lucru pe care il pot folosi pentru calcule numerice si scopuri matematice. (Nu pot instala chiar tot ce vreau...)

Documentatia programelului arata cat de multe lucruri sunt posibile cu el...
http://pari.math.u-bordeaux.fr/doc.html

Este insa de mentionat ca acest program nu are o sintaxa agreabila,
cei ce il folosesc doresc sa obtina repede anumite lucruri calculate,
de obicei micile programele scrise sunt de folosinta unica.
Administrarea / mentinerea unui mic programel peste ani poate fi problematica, pentru ca scrierea de cod este totusi criptica.

Dar pentru micile dorinte,
ceea ce se poate calcula intr-o singrua linie deja,
este excelent.

Ori de cate ori trebuie sa plotez ceva ii dau drumul...

Pari/GP este excelent pentru curbe eliptice.

[Citat] Toate functiile pot fi aproximate?

Avem nevoie de existenta derivatelor pe un interval de obicei.
Daca o functie este de trei ori derivabila, de exemplu, polinomul Taylor de grad "cel mult" doi - acel cel mult vine din faptul ca monomul de grad exact doi se poate anula, de aceea se prefera terminologia "de ordin doi"...
deci polinomul Taylor de ordin doi este o buna aproximare, avem o formula pentru rest, care este strict vorbind generalizarea teoremei lui Lagrange:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem
(Pagina corespunzatoare in romana este desigur un fel de ciot... nu se gaseste nimeni sa scrie cateva lucruri, desi sunt mii de profesori...)
relatie pe care este bine sa o scriem
in loc de
( f(b) - f(a) ) / ( b-a ) = f'(c)
sub forma

f(b) = (1/0!) f(a) + (1/1!) f'(c) . (b-a)

si generalizarea devine "naturala":
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor's_theorem

[Citat] Conteaza unde luam punctul pentru a aproxima functia? are vreo relevanta?

Da, pentru fiecare punct din domeniul lui f (suficient de bine derivabil) avem
un polinom Taylor in acel punct care realizeaza o aproximare buna doar in jurul acelui punct.

[Citat] Polinomul ce aproximeaza functia este mereu mai mic sau egal decat functia, sau poate sa o depaseasca? spre exemplu exista vreo functie f(x) a.i aceasta sa fie mai mica decat aproximarea taylor?

Nu neaparat, dar avem o formula pentru rest.
Daca derivata de ordin imediat urmator are semn constant pe intervalul in care se plimba restul, putem scrie inegalitatea deja.
La noi se intampla acest lucru.
Am scris de fapt polinomul Taylor pentru cos de ordin trei sau patru, derivata de ordin imediat urmator are semn constant in dreapta lui 0 si permite minorarea / majorarea in directia dorita... trebuie doar sa ne aranjam cu ea cumva.

Foarte multe inegalitati care vin in examene sunt inegalitati care vin din aceasta directie.

Foarte multe probleme de examen in care l'Hospital este facut special pentru noi sa il aplicam pana la exasperare sunt de aceeasi natura, cine stie polinomul Taylor stie de cate ori sa deriveze. De multe ori putem "grupa aötfel" si putem sa ne reducem la probleme mai simple... (Nu pot da aici exemple, dar daca intr-un exercitiu nu ajunge sa aplica l'Hospital o singura data stim de ce...)

si daca facem un polinom lung, lung, infinit de lung care aproximeaza din ce in ce mai bine functia in punctul respectiv? mai conteaza punctul ales? polinomul aproximeaza functia fix in punctul acela si cu cat ne deparatm de el, aproximarea are eroare mai mare? de aceea apare acel rest?



si la examenul de bacalaureat... cum fac? trebuie sa explic sau fac monotonia?

[Citat] si daca facem un polinom lung, lung, infinit de lung care aproximeaza din ce in ce mai bine functia in punctul respectiv? mai conteaza punctul ales? polinomul aproximeaza functia fix in punctul acela si cu cat ne deparatm de el, aproximarea are eroare mai mare? de aceea apare acel rest?

Aici nu pot plota din pacate multe functii.
Pentru a intelege cum stau lucrurile mai bine, sa ne legam de functia
cos : IR -> IR
in jurul punctului 0.

Aproximarile Taylor ale acestei functii *in jurul lui 0* sunt urmatoarele:

si asa mai departe.
Asta inseamna ca ne putem astepta la o aproximare buna doar in jurul lui 0.
Eroarea, termenul care controleaza eroarea, se scrie folosind de fiecare data derivata de ordin imediat urmator intr-un punct intermediar, acesta este un numar usor de tinut in frau, dar din pacate mai avem de inmultit cu un polinom de forma (x-0)^N , care ne distruge orice ambitie de a avea ``departe de zero'' un control.

Este suficient sa ne imaginam cam cum arata polinoamele de mai sus departe de zero.
Toate polinoamele sunt simetrice fata de Oy, ele au cel mult atatea dealuri si vai cat le dicteaza gradul (minus unu), deci nu se pot mula decat doar pe cateva oscilatii ale cosinusoidei, in plus, la infinit vom avea o discrepanta mare intre polinomul respectiv care tinde la (plus/minus) infinit si cosinusoida, care ramane intre -1 si +1.

Daca vrem o aproximare buna pentru un punct aproape de 50 pi, ajunge sa luam dezvolatarea Taylor in kurul acestui punct, dam de o suma de puteri ale lui ( x - 50 pi) si aproximarea polinomiala va fi execelenta!

[Citat] si la examenul de bacalaureat... cum fac? trebuie sa explic sau fac monotonia?

La bac, cunoasterea faptului ca o functie se poate aproxima (si anume cum) folosind un polinom Taylor este in multe cazuri un avantaj mare.
Desigur ca nu putem pomeni de Taylor in solutie, dar intelegand cum stau lucrurile putem de la caz la caz sa le exprimam folosind cunostintele de liceu.