(eroare: eq.0/42867)$
1. Se considera sistemul:
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
3x-y+2z=3 \\
2x+my+3z=0 \\
x+3y+z=4 \\
\end{array}} \right.
\]

Determinati valorile reale ale lui m pentru care are o solutie (x_0,y_0,z_0) unde p,q apartin lui Q.

2. Se considera polinoamele:
f=$x^5-1$ si g=&x^2+pX+q& cu p,q apartin lui Q.

Stiind ca f si h au o radacina rationala comuna (&1, am gasit-o), determinati un cel mai mare divizor al lor.
$

cred ca la sistem este vreo eroare...

[Citat] Determinati valorile reale ale lui pentru care are o solutie unde p,q apartin lui Q. 2. Se considera polinoamele: si cu p,q apartin lui Q. Stiind ca f si h au o radacina rationala comuna (1, am gasit-o), determinati un cel mai mare divizor al lor. cred ca la sistem este vreo eroare...

Am ajutat la redactare, dar enuntul nu este clar.

[Citat] [Citat] Determinati valorile reale ale lui pentru care are o solutie cu componentele in progresie aritmetica. 2. Se considera polinoamele: si cu p,q apartin lui Q. Stiind ca f si h au o radacina rationala comuna (1, am gasit-o), determinati un cel mai mare divizor comun al lor. cred ca la sistem este vreo eroare... Am ajutat la redactare, dar enuntul nu este clar.

Acum este bine.

[Citat]

Banuiesc ca cele trei componente vin in aceasta ordine (sau in ordine inversa) in progresie aritmetica.
Atunci introducem doua noi necunoscute, a si r din partea mea, pentru care au loc:

x0 = a
y0 = a + r
z0 = a + 2r .

Ecuatia a doua o uitam pentru inceput.

Ne legam de prima si a treia.
Atunci dam de un sistem in a, r pe care il rezolvam.
Vedem ce valoare corespunzatorare avem pentru m...

(La scoala am reusit in cateva cazuri doar sa pun parte din solutii in versuri, nu am putut des, dar ori de cate ori am facut asa ceva am putut testa simtul umorului...)

[Citat]

f are desigur doar o radacina rationala,
"pe toate" le cautam intre -1 si +1 .
Doar 1 este radacina.

Deci g are radacina rationala 1.
Cealalta radacina a lui g este ... tot rationala.

Stim ca f si g se divid cu (x-1).
Se poate cumva sa avem un divizor comun (de grad) mai mare?

Nu, deoarece f are radacina 1 ca singura radacina rationala, anume cu multiplicitatea 1.

Multumesc pentru raspunsuri, insa daca tot suntem aici, sa nu mai deschid alt topic, ajutati-ma si cu problele astea va rog frumos.

sunt curios sa vad primitiva acelei functii daca se poate integra... pe wolframalpha apare un c(x) - Fresnel C integral. ?!?



{ ax + y + z = 4
{ x + 2y + 3z = 6
{ 3x - y - 2z = b


Sa se arate ca, pentru orice a apartinand Z, exista b apartine Z, astfel incat sistemul sa admita solutii cu toate componentele intregi.


Am luat pentru a=!4 si am rezolvat cu metoda lui Cramer...

x1=(b+2)/(-a+4)
x2=(-3ab-12a+b+26)/(-a+4)
x3=(2ab+6a-b+10)/(-a+4)

si când a!=4

x1=(48-18z)/28
x2=(11z-20)/7
x3=z

[Citat]

Care este convexitatea / concavitatea functiei date pe intervalul ( 1, oo )?
De fapt derivam de doua ori cel mai simplu dupa ce facem o spargere in fractii simple, adica dupa ce impartim cu rest...
Partea cu x² - x se divide cu x-1,
catul este ceva de grad unu, ceva liniar, derivata a doua decimeaza.
Ramane sa ne uitam la

- 1 / (x-1) ,

functie concava pe ( 1, +oo ) .

Scriem inegalitatea lui Jensen pentru aceasta functie...
(Care este de fapt definitia convexitatii...)
http://en.wikipedia.org/wiki/Jensen's_inequality



Desigur ca putem sa face totul si in mod pedestru.
Partea cu (x²-x) / (x-1) este liniara (de fapt afina), partile corespunzatoare din inegalitatea de demonstrat "se reduc".

Ramane sa ne legam de ce ramane, folosim cel mai bine doua puncte
A = a-1 > 0 si
B = b-1 > 0
in loc de cele din problema...

[Citat]

Sa vedem numeric cat de stransa este aceasta inegalitate:


(21:07) gp > intnum( x = 0, 1 , cos( x^2) )
%1 = 0.9045242379002720814747883668


Bine, e relativ stransa.
Sa luam primele cateva aproximari Taylor prin lipsa / prin adaos ale functiei cos pe (0,1).
De fapt stim ca are loc:

Cerem asadar computerului:

(21:13) gp > intnum( x = 0, 1 , 1 - (x^2)^2/2! )
%3 = 0.9000000000000000000000000000
(21:14) gp > intnum( x = 0, 1 , 1 - (x^2)^2/2! + (x^2)^4/4! )
%4 = 0.9046296296296296296296296296
(21:14) gp > intnum( x = 0, 1 , 1 - (x^2)^2/2! + (x^2)^4/4! - (x^2)^6/6! )
%5 = 0.9045227920227920227920227920
(21:14) gp > intnum( x = 0, 1 , 1 - (x^2)^2/2! + (x^2)^4/4! - (x^2)^6/6! + (x^2)^8/8! )
%6 = 0.9045242509396921161627043980


Sper ca este clar acum...

Vreau o demonstratie fara a implica deloc calculatorul, ceva mai accesibil, fara aproximari daca se poate.

[Citat] Vreau o demonstratie fara a implica deloc calculatorul, ceva mai accesibil, fara aproximari daca se poate.

Da, desigur, eu inserez cod pe care mi-l livreaza calculatorul din doua motive:
- In primul lucru, il pot tipari repede.
- In al doilea rand, consider ca acesta este un mod bun de a da o indicatie.

In cazul de fata, indicatia explicita ar fi:

Se considera functia ajutatoare
h : [ 0, 1 ] -> IR
care este data de formula

h(x) = cos(x) - ( 1 - x²/2 ) .

Sa se studieze monotonia si semnul lui h.
Acum este evidenta idea de rezolvare?