In intrebarea de mai sus, una din parti depinde de n, cealalta nu.
Egalitatea nu poate fi satisfacuta...
In astfel de cazuri, avem in acest secol posibilitatea de plotare.
De ce nu plotam?


De exemplu, graficul functiei de x data de formula
arcsin( sin(x) ) este cam asa:

Am plotat doar de la 0 la 3 pi . (Cod pari-gp)
Dar sper ca este clar cum merge functia mai departe.

Propun sa facem in integrala data substitutia

y = nx .

Ce trebuie sa calculam alternativ?

Nu m-am prins cum as putea folosi respectiva schimbare de variabila, insa dupa cum merge functia, presupun ca limita spre +00 este 0.

De aici putem proceda astfel.

Am vazut cum arata arcsin( sin(y) ),
am vazut ca avem o perioada

T = 2 pi ,

integrala pe un interval de latime T este nula.

Impartim atunci intervalul [ 0 , n ] in cat de multe intervale de latime T, deci
[0,T]
[T,2T]
:::

si la sfarsit ramanem cu o bucatica de latime < T .

Toata integrala se reduce la integrala pe bucatica, avem imediat o majorare cu o constanta.

Tinand cont si de acel (1/n) din fata integralei, vedem ca limita ceruta este nula.

Multumesc.