? Nu prea reusesc sa-i dau de capat, ma poate ajuta cineva?

[Citat] ? Nu prea reusesc sa-i dau de capat, ma poate ajuta cineva?

O problema "asemanatoare" este urmatoarea:

Cu calculatorul:

sage: f = sin(x)^4 + cos(x)^4
sage: f.reduce_trig()
1/4*cos(4*x) + 3/4

sage: plot( f, (x,0,pi) )
sage: plot( f.reduce_trig(), (x,0,pi) )

sage: # ploturi omise, dar din ele se vede ca avem una si aceeasi functie.

sage: var( 't,x' );
sage: 4 / ( 3 + (1-t^2)/(1+t^2) ) * 1/(1+t^2)/2
-2/(((t^2 - 1)/(t^2 + 1) - 3)*(t^2 + 1))

sage: # urat, este ceea ce obtinem la prima iteratie dupa substitutie...
sage: _.factor()
1/(t^2 + 2)
sage: # am factorizat ultimul raspuns al lui sage, ne mai vine inima la loc.
sage:
sage: integrate( 1/(t^2+2), t, -oo, +oo )
1/2*pi*sqrt(2)
sage:
sage: K = integrate( 4/(3+cos(4*x)) , x, 0, pi/2 )
sage: K
1/2*pi*sqrt(2)
sage: K = integrate( 4/(3+cos(4*x)) , x, -pi/4, pi/4 )
sage: K
1/2*pi*sqrt(2)
sage: J = integrate( 4/(3+cos(4*x)) , x, 0, 3*pi )
sage: J
3*pi*sqrt(2)

sage: integrate( 1/(cos(x)^4 + sin(x)^4) , x, 0, 3*pi )
integrate(1/(sin(x)^4 + cos(x)^4), x, 0, 3*pi)

sage: # sage nu stie ce sa faca cu forma de mai sus... cerem macar aproximativ

sage: integrate( 1/(cos(x)^4 + sin(x)^4) , x, 0, 3*pi ).n()
13.328648814475097
sage: J.n()
13.3286488144751
sage:


Rog a se incerca si pe puterile proprii umplerea locurilor explicit ne-explicitate.

Daca sunt intrebari, cu incredere!

scuza-ma, iti multumesc pentru explicatie, dar nu inteleg un singur lucru : dupa ce substituim tg 2x cu t, care sunt capetele integralei?

[Citat] scuza-ma, iti multumesc pentru explicatie, dar nu inteleg un singur lucru : dupa ce substituim tg 2x cu t, care sunt capetele integralei?

Culoarea nu conteaza asa de mult...

Substitutia se face cam asa.
Avem de integrat "ceva" ce depinde de x, unde x se plimba de la 0 la 3pi.
Cu o mica yoga am reusit sa ma reduc mai bine la alt interval, anume la un interval pe care sa pot aplica acesta substitutie standard.

Intervalul meu dorit este cel
de la -pi/4
la pi/4 .

Substituim atunci t = tg(2x) .

Numai (2x) se plimba ("paralel cu x", crescator)
de la -pi/2
la pi/2 .

Apoi tg(2x) se plimba ("paralel cu x", crescator)
de la limita din ... deci de la minus infinit, uneori scris pe forumuri drept -oo
la limita din ... deci la plus infinit, uneori scris pe forumuri drept +oo .

Integrala obtinuta este una "improprie" , in sensul ca limitele de integrare nu sunt finite. (Ele nu determina un interval marginit, inchis, ca in manualul de a XII-a cand se definesc sumele Riemann...)

Daca acest lucru este o problema, atunci calculam in loc de
"integrala de la -oo la +oo din..."
pur si simplu
"limita pentru M spre +oo din integrala de la -M la M din..."