T7.In triunghiul ABC masura unghiului ACB este de 120o, BC/AC=(sqrt3-1)/2.Sa se determine masura unghiului ABC.
T11.In triunghiul dreptunghic lungimile inaltimii si medianei, duse din varful unghiului drept se raporta ca 40 la 41. Sa se determine raportul lungimilor catetelor acestui triunghi.
T13.Sa se calculeze aria rombului ABCD, daca razele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC si ABD sunt egale respectiv cu R si r.

Am o rugaminte, rog a se da un clic(k) pe [Citeaza] (+renuntare la citare) pentru a se vedea cum vine codul in LaTeX si cat de mica este diferenta...

[Citat]

LaTeX-ul poate sa ajute (uneori mai mult decat matematica) in viata, asa in general. De exemplu, se formeaza optica si estetica pentru textul tiparit si citit. Este un limbaj de marcare / prezentare a textului si mult din tehnologia din net are de-a face cu acest lucru. In plus, educa precizia, codul nu se compileaza decat cand este "programat" cum trebuie.

Si acum la problema. Desicgur ca schimb limba...

Acesta este drumul spre solutie.
Rog a se face calculele de mana, astfel incat sa fie dublate cele ce le calculeaza sage (program liber de facut si desfacut matematica):

sage: var('a,b,c');
sage: # mi-am dat acolo trei variabile, acum le pot folosi

sage: eq1 = ( a^2 + b^2 + a*b == c^2 )
sage: eq2 = ( a / b == (sqrt(3) - 1)/2 )

sage: solve( [eq1, eq2], [b,c] )
[[b == (sqrt(3) + 1)*a, c == -sqrt(3*sqrt(3) + 6)*a], [b == (sqrt(3) + 1)*a, c == sqrt(3*sqrt(3) + 6)*a]]

sage: # solutia in care am vazut un minus putem sa o uitam.
sage: sinB = sin(2*pi/3) * (sqrt(3) + 1)*a / sqrt(3*sqrt(3) + 6)/a
sage: sinB
1/2*(sqrt(3) + 1)*sqrt(3)/sqrt(3*sqrt(3) + 6)

sage: # sper ca e clar cum se simplifica cu mana... avem de exemplu valoarea numerica.... acen n() inseamna : "da-mi valoarea numerica (aproximativa)"
sage: ( arcsin( sinB ) / pi ).n()
0.250000000000000

[Citat] T11. In triunghiul dreptunghic lungimile inaltimii si medianei, duse din varful unghiului drept se raporta ca 40 la 41. Sa se determine raportul lungimilor catetelor acestui triunghi.

Sa notam
cu a ipotenuza in triunghiul dat,
cu b,c cele doua catete si
cu h inaltimea.

Mediana este desigur a/2, triungiul este "inscris" intr-un semicerc, centrul (semi)cercului este mijlocul ipotenuzei.

Putem scrie h in functie de a,b,c ?
Da, aria triunghiului este
ah/2 = bc/2 .

Deci h = bc/a.

Ce ni se da?
Ni se da relatia... pe care o ducem mai departe:

40 / 41 = h / (a/2) = (bc/a) / (a/2) = 2bc / a^2 .

Pe de alta parte, a² este...

Dam de
41 / 20 = ( b² + c² ) / (bc)

si daca notam cu x de exemplu necunoscuta ceruta, atunci avem deja ecuatia

41 / 20 = x + 1/x .

Rezolvam asadar ecuatia de gradul II in x

20 x² - 41 x + 20 = 0,

Avem de-a face curand cu 41² - 4.20.20 = 41² - 40² = (41-40)(41+40) = 81 = 9²...
Dam apoi repede de x = 5/4 si/sau de x = 4/5 .

Gata.

(Rog a se lasa un mic spatiu liber intre T13. si "Sa se..." deoarece dupa acel punct deranjeaza ochiul usor lipirea de "cuvinte".)

[Citat] T13. Sa se calculeze aria rombului ABCD, daca razele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC si ABD sunt egale respectiv cu R si r.

Si daca razele nu sunt R si r ce facem?
Mai trebuie sa rezolvam o problema?

(Eu sunt mereu impotriva acestor tipuri de formulare a problemelor. Daca si cu parca nu au ce cauta in enunt. Enunutul trebuie sa separe clar ce se da si ce se cere. Folosirea lui daca imi sugereaza mie un fel de implicatie logica... Dar cei ce scriu manualele si culegerile au alte probleme, ei se dedica deseori "literaturii". Rog elevii sa isi corecteze profesorii la clasa in astfel de cazuri. Intelegerea punctului de fragilitate logica din enunt este foarte important si in viata, un sef trebuie sa spuna clar "trebuie sa faci...", nu "ar fi bine sa faci...", iar cel ce a facut e bine sa spuna clar "am facut..." si nu "daca aveti timp va pot spune ce am facut..." In avocatura si scrierea de contracte, in general in mai multe limbi ale lumii, aceste mici nuante sunt esentiale.)

Sa rezolvam mai bine problema urmatoare, in care sunt bine ancorate darile si cererile.


T13. Se da rombul ABCD,
in care (se da faptul ca) razele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC si ABD sunt egale respectiv cu R si r.

Sa se calculeze aria rombului ABCD (in functie de R si r (daca se poate)).


Notam cu d si e *jumatatile* diagonalelor rombului.
(Cer scuze, d sugereaza ca ar si o intreaga diagonala... dar nu am vrut sa iau e si f.)

Diagonalele au atunci lungimile 2d si 2e.
Lungimea "a" a fiecarei laturi se scoate repede din
a² = d² + e² .

Folosim acum in cele doua triunghiuri cu pricina relatia care leaga
- produsul lungimilor laturilor,
- raza cercului circumscris,
- aria.

Aria S a fiecarui triunghi ... este S = de, aria dreptunghiului cu laturile d si e. Ajunge sa taiem cu foarfeca cele doua triunghiuri dreptunghice... si sa le lipim intr-un dreptunghi.
Dam de

R = ( a.a.2d ) / (4de) si
r = ( a.a.2e ) / (4de) si

Avem doua ecuatii in d si e (dupa ce rescriem a.a = a² = ...)
le rezolvam.

Ce solutie obtinem?
Care este valoarea lui 4de in functie de R si r ?

[Citat] In triunghiul ABC masura unghiului ACB este de 120grd, BC/AC=(sqrt3-1)/2. Sa se determine masura unghiului ABC.

Mai e nevoie de un pas...si totul ar fi superb.Mc ca exista minti care ne lumineaza!