Dupa ce se vede ca operatia este de forma

x*y = (x-2)(y-a) + c
pentru orice (x, y) din domeniul de definitie al operatiei *,

ajunge sa ne interesam de existenta unui element neutru "e" pentru operatie.
Daca exista un asemenea e cu e*x = x*e = x pentru orice x,
dam de identitatea

(e-2)(x-a) + c =
(x-2)(e-a) + c = x .

Este o identitate polinomiala (deoarece are loc in mai multe puncte decat gradul ei),
deci putem identifica cei doi coeficienti.
Coeficientul principal este 1, deci
(e-2) = (e-a) = 1 ,
deci a=2 si e=3 .

Apoi c = 2 .

Deci daca * este lege cu element neutru, rezulta ca legea este
x*y = (x-2)(y-2) + 2 .

Reciproc, daca cele de mai sus au loc, atunci avem
x*y - 2 = (x-2).(y-2) ,

ceea ce se scrie "mai usor" sub forma

f(x*y) = f(x).f(y) ,

unde f este functia bijectiva...

In acest moment folosim o lema simpla, eficace, (prin care se obtin foarte multe astfel de probleme,)
anume lema transportului de structura.
Ar trebui sa fie in fiecare manual.

Ea spune in mare, nu ca teorema, ci ca metateorema, ca daca avem o structura (de grup, de inel, de corp, de semigrup, ...)
pe o multime G cu una sau mai multe operatii, sa notam una din ele cu "punct", deci ".",
si daca ne dam o bijectie g de la G la o multime X, amorfa, fara structura, doar multime,
atunci putem transporta structura de pe G pe X.
Fie f inversa lui G.
Cum transportam?
Ne dam doua elemente x,y in X.
Pe X nu avem nici o operatie inca.
Asa ca le trimitem in G, dam de f(x) si f(y).
Folosim operatia din G pentru a da de f(x).f(y) ca element din G.
Trimitem acest element inapoi in X, dam de g( f(x).f(y) ) .

Lema de transport de structura spune ca aceasta definitie de lege de compozitie pe X,

x*y := g( f(x).f(y) )

induce acelasi tip de structura.

De exemplu, asociativitatea se demonstreaza aproape tautologic...
Pentru x,y,z in X vrem sa aratam ca are loc
x*(y*z) = (x*y)*z .
Aplicam bijectia f ca sa demonstram echivalent:

f( x*(y*z) ) = f( (x*y)*z ) .

Demonstratia este atunci imediata folosind definitia operatiei / transportul prin ea
si asociativitatea de pe G:

f( x*(y*z) )
= f(x).f(y*z)
= f(x).(f(y).f(z))
= (f(x).f(y)).f(z) -asociativitatea pe G-
= f(x*y).f(z)
= f( (x*y)*z ) .

Multumesc.