Buna seara
Problema mea este:se considera un cub ABCDA'B'C'D' si fie M si N mijloacele muchiilor DD' si respectiv BB'
Daca T este mijlocul muchiei AA' sa se afle unghiul dintre dreptele MN si C'T.
Daca se poate sa imi si explicati.Multumesc.

In completare arat ca AB = 9 cm si AA' = 10 cm.

si deci rectific ca nu este vorba de un cub ci de o prisma patrulatera regulata

MN||BD, BD e perp pe AC ,BD e perp pe AA'=> BD perp pe (ACC'A') si C'T inclusa in (ACC'A')=> MN perp C'T.(O dr. perp. pe un plan e perp. pe orice dreapta continuta in acel plan.)

Solutie alternativa:

Simetria fata de planul diagonal AA'CC'
pastreaza unghiul cautat,
deoarece schimba MN in NM si lasa cealalta dreapta neschimbata,
deci unghiul este de 90° .

da multumesc pentru amandoua rezolvarile.
mi se pare interesanta cea de a doua rezolvare dar nu prea am inteles-o.
Vreti sa mi-o explicati mai pe larg(daca bine inteles aveti timp)

A doua solutie este mai mult o solutie care presupune o oarecare experienta "optica". Simetria este foarte importanta in geometrie, daca o figura prezinta o simetrie, aceasta usureaza foarte mult solutia.

Iata cateva exemple "neortodoxe" de folosire a simetriei.

Daca avem un triunghi ABC cu AB = AC si (nu stim nimic si) vrem sa aratam ca unghiurile B si C coincid, o posibila solutie este compararea triunghiurilor
ABC si
ACB .
(Nu este o gluma...)
Ele sunt congruente pe baza cazului LLL, anume
AB din primul triunghi este AC din al doilea,
AC din primul triunghi este AB din al doilea,
"baza" BC din primul triunghi este "baza" CB din al doilea.
Deci unghiurile corespunzatoare sunt congruente.

Solutia "normala" este cea in care ducem perpendiculara, mediatoarea bazei...

Putem insa sa reformulam aceasta solutie "normala" si spunand:
Aplicand simetria fata de mediatoare punctul A sta pe loc si punctele B, C isi schimba locul.

Sa zicem acum ca avem un romb (= paralelogram cu laturile egale) ABCD.
Sa notam lungimea laturii cu "a".
Vrem sa vedem ca diagonalele sunt perpendiculare.
Solutia normala este cea in care intersectam diagonalele,
fie O intersectia lor, deci a dreptelor AC si BD.

Putem sa ne legam de congruenta triunghiurilor ce apar, cand scriem insa o demonstratie riguroasa nu se poate sa nu vedem "argumentul de simetrie".

Argumentul de simetrie ar fi:
"prin simetrie fata de AC, punctele A si C stau pe loc, punctele B si D isi schimba locul."
De ce?
Deoarece in fiecare semiplan determinat de dreapta AC exista un singur triunghi isoscel de baza AC si laturi egale "a".

Prin simetrie, unghiul AOD devine AOB, deci sunt egale,
iar impreuna formeaza unghiul de 180°, deci fiecare are jumatate, 90°.
Putem spune ca "unghiul dintr-un seminplan dintre AC si BD este dus in unghiul din celalalt semiplan, deci in locul lui vine unghiul suplementar..."

La fel si la noi.
Situatia este in spatiu, dar argumentul de simetrie merge analog.
Alicam simetria fata de planul diagonal dat de paralelele AA' si CC'.
Punctele A, A', T si C, C' stau pe loc, fiind in acest plan.
Punctele din planul BB'D'D, perpendicular pe AA'C'C sunt duse dupa cum urmeaza:
B in D, B' in D', mijlocul lui BB' in mijlocul lui DD'.

Deci unghiul dintre TC' si MN este egal prin simetrie cu unghiul suplementar, deci este de 90°.

Argumentul direct este foarte bine prezentat mai sus, pe el se obtin toate punctele la orice examen, pe argumentul cu simetria...