Determinati numerele prime p pentru care 101|p^7-23.

[Citat] Determinati numerele prime p pentru care 101 | p^7-23 .

In primul rand cautam o descriere pentru toate numerele naturale / intregi n pentru care avem

101 | ( n^7 - 23 )

Este clar ca avem o problema de pura divizibilitate,
deci o rezolvam (in inelul / corpul de clase de resturi) modulo 101.

Desigur ca n este prim cu 101.
Deoarece 101 este prim exista 100 de clase (nenule) ale lui n modulo 101.
Raspunsul va fi una sau mai multe clase...

O teorema a lui Lagrange ne asigura ca deoarece 7 este prim cu acest 100 (ordinul grupului de elemente modulo 101 inversabile modulo 101), aplicatia de ridicare la puterea a 7-a este inversabila.
(Inversa este ridicarea la puterea 43, deoarece 7 x 43 = 301 care este de cateva ori 100 plus 1.)

Vom gasi o singura clasa de resturi care este buna.
Iat-o cu computerul:


sage: F = GF(101)
sage: for f in F:
....: if f^7 == F(23):
....: print f
....:
76
sage: F
Finite Field of size 101


Deci 76 modulo 101 este singura clasa care ridicata la a 7-a da 23 modulo 101.

Ce vrea problema de la noi?
Vrea sa "determinam" toate numerele prime care sunt congruente cu 76 modulo 101.

O teoreme a lui Dirichlet ne asigura ca sunt o infinitate...
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions

Iata primele cateva:


Nu putem "determina" aceste numere, dar il putem determina poate prin acestea pe cel ce a propus initial o astfel de problema sa isi revizuiasca modul de propunere de probleme.

Cine a propus de fapt (initial) aceasta problema (culegere, manual, concurs...) ?

Si "pe vremea mea" existau astfel de "probleme fara rezolvare" care mi-au dat probleme psihologice mai mult decat matematice, pur si simplu incercam sa ma pregatesc pentru "concursuri" (lucru fara sens matematic, ci sportiv din punctul meu de vedere de azi) si nu se putea distinge ce problema are rezolvare si ce problema nu are. Lucrurile au fost mult mai tarziu clare cand matematica invatata sistematic a facut ordine in ceatza...

Multumesc! Problema sta la baza altei probleme, pe care, dupa explicatia data de dvs, am rezolvat-o pe alta cale...mi-am dat seama ca m-am complicat inutil! Multumesc mult, din nou!