Aceasta este "aceeasi problema" ca si pe
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=12&ID=42550
dar pusa cu patru jucatori in loc de trei.

Patru jucatori formeaza o grupa si joaca in grupa contra "bancii din cazinou".
Este pusa in joc suma de 10 000 $ .
(Zece mii de dolari.)

Cei patru sunt la o masa de joc.
Cei patru nu pot sa isi distinga fetzele sau altele caracteristici corporale.

Fiecare primeste o carte de joc din acelasi pachet de 52 de carti de joc, nu ii vede culoarea, o pune pe frunte si se uita la culorile celorlalti trei.

Dupa cateva momente de tacere fiecare din cei patru inapoiaza cartea de pe frunte fara a ii vedea culoarea si iese din sala.
Cei patru ies pe carari diferite.
La iesire trebuie sa declare / sa ghiceasca culoarea tocmai avuta pe frunte sau sa paseze.

Daca unul sau mai multi din cei patru declara o culoare gresita, toata grupa a pierdut.
Daca nici unul nu declarat o culoare gresita (neavuta tocmai pe frunte), dar cel putin unul a ghicit, grupa castiga suma pusa in joc, cele zece mii de dolari.

Care este strategia de castig?
Care este valoarea acestui joc?

Bonus: Se schimba ceva daca cei patru pot sa isi recunoasca fetzele?

Un mic preludiu...
Aceasta problema este una din putinele probleme de teoria probabilitatilor pe care le stiu, a carei solutie, a carei organizare a solutiei merge cel mai bine folosind grafuri. Momentul in care am propus-o a fost un astfel de moment in care problemele (de combinatorica) rezolvate prin studiul unui graf erau destul de actuale. Iata ce putem face in cazul de fata.

Problema vine de obicei intr-o situatie "homogena", una in care culorile vin pe fiecare frunte cu o aceeasi probabilitate.
Am schimbat in mod voit conditiile problemei pentru a introduce "ceva nou", incerc cu disperare sa nu plagiez (total).
Problema o stiu de prin 1993, mi-a ramas in memorie pentru ca nimic din ceea ce am invatat in facultate la capitolul procese stohastice nu m-a putut ajuta. Am incercat pe toate partile sa vad un proces sau un spatiu de probabilitate cu un numar finit de elemente care sa fie cat de cat usor de controlat.
Problema este mai degraba una de "joc cooperativ", deci suntem pe partea cu contolul optimal mai mult decat pe cea cu probabilitatile.

In primul rand am cautat in net o referinta convenabila, voi povesti pe marginea ei.
http://orion.math.iastate.edu/linglong/Math690F04/HatGame.pdf

Cele ce vine se pot usor generaliza la n jucatori.
Totusi, pentru usurinta prezentarii, lucram cu n = 4 jucatori, ca in enuntul din postarea initiala.

Sa notam cu 0 si respectiv 1 cele doua culori.
O extragere a culorilor este un vector / un tuplet cu patru componente

( a1, a2, a3, a4 )

componentele fiind fiecare fie zero, fie unu.
Sa notam cu V acest spatiu,
V = {0,1} X {0,1} X {0,1} X {0,1} .

Atunci cei patru jucatori, J1, J2, J3, J4 vad urmatoarele:

J1 : ( --, a2, a3, a4 )
J2 : ( a1, --, a3, a4 )
J3 : ( a1, a2, --, a4 )
J4 : ( a1, a2, a3, -- )

in jocul din Bonus, cel in care ei pot distinge ordinea jucatorilor.
Sa notam cu V1, V2, V3, V4 configuratiile posibile pe care le poate vedea fiecare jucator.
(Fiecare din ele este o multime care poate fi usor pusa in bijectie cu {0,1} X {0,1} X {0,1} .)

Atunci o strategie este darea simultana a patru functii
f1, f2, f3, f4,

f1 : V1 --> { 0, 1, pas }
f2 : V2 --> { 0, 1, pas }
f3 : V3 --> { 0, 1, pas }
f4 : V4 --> { 0, 1, pas }

Vom nota cu f = ( f1, f2,f3, f4 ) un astfel de ansamblu de patru strategii individuale, numind un astfel de f o strategie.

Pentru fiecare strategie f fixata putem imediat calcula multimea Castig(f) a configuratiilor care castiga din V.
Castig(f) este submultimea acelor a = ( a1, a2, a3, a4 ) din V
pentru care strategia f = ( f1, f2, f3, f4 ) aplicata pe ceea ce vede fiecare jucator din a dupa indepartarea "componentei de pe frunte" este castigatoare pentru grupa de patru jucatori.

(Cate strategii avem? Multe... V1 are 8 elemente daca suntem in cazul cu Bonus-ul,
(0,0,0), (0,0,1), ... , (1,1,1) - am numarat binar de la 0 la 7 si am pus cifrele in tuplete,
altfel, daca ordinea nu conteaza la avem "doar" pe cele patru 000, 001 ~ 010 ~ 100 , 110 ~ 101 ~ 011 , 111 .
Deci f1 poate fi luat in 3^8 sau in cazul "simplu" "doar" 3^4 posibilitati.

Ramane sa numaram la fel si pentru f2, f3, f4 si sa luam fiecare cu fiecare cu fiecare cu fiecare...
(Produs cartezian.) Prea multe strategii. Cum punem ordine in multimea de cazuri?

Sa ne legam de multimea complementara:

Pierderi( f ) = V - Castig( f ) .

Si acum intervin grafurile.
Organizam V--ul ca graf unind doua puncte care fie coincid, fie difera pe (cel mult) una din componente.
Deci ( a1, a2, a3, a4 ) este conectat in acest graf cu sine si cu cele patru elemente

( 1-a1, a2, a3, a4 )
( a1, 1-a2, a3, a4 )
( a1, a2, 1-a3, a4 )
( a1, a2, a3, 1-a4 )

Avem astfel si o distanta pe V, o metrica data de numarul minim de "pasi" (din colt in colt) de la un varf la altul.
O 1-acoperire V' a lui V este o submultime a lui V cu proprietatea ca orice varf din V se afla la distanta cel mult unu de (cel putin) un varf din V'.

Ei bine, se poate demonstra relativ usor ca exista o bijectie:

{ V' : V' este o 1-acoperire a lui V } si
{ Pierderi( f ) : f strategie }

--------------------------------------------------
(continuarea urmeaza cand mai am ceva timp...)