Cat da radical din i? are vreo valoare sau nu se poate...?

Trebuie definita functia radical sau trebuie reformulata problema...

De exemplu daca vrem sa cautam in numere complexe solutia ecuatiei in z:

z² = i , adica
z² = cos (pi/2) + i sin(pi/2)

atunci cele doua radacini sunt imediate, difera prin semn, una este
a = cos (pi/4) + i sin(pi/4) , cu argumentul (pi/2) / 2
o verificam folosind Moivre,
cealalta este
-a , cu argumentul (pi/2 + 2pi) / 2 .

Daca vrem sa definim functia radical cumva "continuu" trebuie sa facem o "taietura" in planul complex, de exemplu prin indepartarea din C a semiaxei reale negative cu origine cu tot. In analiza complexa din facultate se definieste

pentru z = r( cos t + i sin t )

pentru t intre -pi si pi si
pentru r > 0

ceva de forma
radical(z) = radical(r) ( cos(t/2) + i sin(t/2) ) .

Dar aceasta este UNA dintre multele alegeri.

La liceu se face uneori distinctie intre
"radicalul algebric" (rezolvam o ecuatie algebrica, dam de mai multe solutii, convenim asupra uneia din ele)
si
"radicalul analitic sau functional" (definim o functie putere, vedem ca e injectiva daca o restrangem la... ne uitam la imagine, asociem inversa de la ... la ...)

In primul caz avem "avantajul" de a intelege din liceu functiile multivariate.
In orice caz, trebuie luata decizia in definirea functiei radical...