f(x)=min{1+2lnx,x^2}
Fie sirul an=f derivat de n ori de 1/2,n natural.
bn=(f derivat de n ori de n)/(f derivat de n ori de (n-1),n diferit de 1.)
Sa se arate ca an este divergent si sa se calc limita lui bn.
Am aflat f derivat de n ori
f derivat de n ori de x=2*(-1)^(n-1)*(n-1)!*(1/(1/2)^n)
Si nu stiu ce sa fac mai departe.Cum sa demonstrez ca e divergent.

[Citat] f(x)=min{1+2lnx,x^2} Fie sirul an=f derivat de n ori de 1/2,n natural. bn=(f derivat de n ori de n)/(f derivat de n ori de (n-1),n diferit de 1.) Sa se arate ca an este divergent si sa se calc limita lui bn. Am aflat f derivat de n ori f derivat de n ori de x=2*(-1)^(n-1)*(n-1)!*(1/(1/2)^n) Si nu stiu ce sa fac mai departe.Cum sa demonstrez ca e divergent.

Cu toata bunavointa de a raspunde, sunt pus in fata unor probleme de buna definire a enuntului. (In astfel de cazuri cer mereu confirmarea enuntului, sunt date chiar toate datele problemei exact asa ca in sursa? Care este de fapt sursa?)

Prezentarea nu imi face de asemenea jocul usor.
(Inghesuiala e prea mare.)

Sa ne legam de f.
Care este domeniul lui f?
Ce este de exemplu f(-1) ?

Pana nu este clar acest lucru nu as avea voie sa scriu nimic mai departe.
Scriu totusi ceva.
Sa zicem ca domeniul lui f este ( 0, +oo ).

Numarul

1 + 2 ln(1/2)
= 1 - ln(4)
< 1 - ln(e)
= 0

este deci un numar negativ.
De aceea intr-o vecinatate convenabila a lui 1/2 functia este chiar derivabila si este data de formula

f(x) = 1 + 2 ln(x)

Derivam apoi de cateva ori. Probabil ca obtinem formula cu stelutze de mai sus.

Care sunt explicit valorile pentru

f(1/2) ,
f'(1/2) ,
f''(1/2) si
f'''(1/2) ?

Apoi poate ca banuim de unde vine divergenta...



Nota:
Deja am scris mai mult decat prescurtarea din
"sa se calc limita lui bn"
Ar fi fost un mic efort de a tipari
"sa se calculeze limita lui bn"
care este parte de limba romana, forma mai usor citibila (nu avem nimic de calcat, ci de calculat), prezentare mai buna si respect pentru cei ce citesc.
Mie personal mi-e tot una, dar este un sfat util in viata, nici nu se banuieste cat de important este deseori sa se tina cont de el...