Ati putea, va rog, sa scrieti enuntul complet al inegalitatii lui Aczel?
Stiu sigur ca e asemanatoare cu Cauchy-Schwartz, dar difera de aceasta prin sens si prin faptul ca peste tot sunt minusuri. Mai stiu ca e conditionata, dar nu-mi amintesc conditia .
Multumesc anticipat!

http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Aczel's_Inequality
(google is your friend!)

Multumesc inca o data!
Am cautat inainte pe google, dar nu am gasit nimic. In plus, pe AoPS nu ma prea pricep sa navighez...
As mai avea o rugaminte, daca nu este prea mare deranjul: ati putea sa mai scrieti si inegalitatea lui Newton (am cautat pe acel AoPSwiki, dar nu am inteles)?
Sunt in clasa a VIII-a si mi s-a spus ca inegalitatea cautata de mine este

. Nu mi s-a spus ce fel de numere sunt a,b,c(banuiesc ca din

) si consider ca poate e un caz particular (mi s-a parut simpla cand am demonstrat-o)!
Multumesc!

Este excelent si demn de laudat efortul de a intelege inegalitatile de acest calibru pe clasa a VIII-a! Daca sunt probleme mari sau mici nelamuriri, acesta este un foarte bun loc de a le plasa...

Mai intai cateva link-uri...

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_inequalities
http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Newton's_Inequality
dar mult mai bine:

http://www.artofproblemsolving.com/Resources/Papers/KedlayaInequalities.pdf Teorema 7 .


In cazul de fata nu pot desigur sa las lucrurile sa ramana asa.
La nivel de clasa a VIII-a incerc sa explic asa.

Ne dam trei litere, a,b,c.

Incercam sa scriem toate polinoamele simetrice de gradele I, II, III (mai mult nu putem) care se obtin plecand cu
a
ab
abc
(mai mult nu putem)
print permutare si sumare.
(Acestea sunt polinoamele simetrice elementare in variabilele a,b,c.)

Ele sunt:

e1 = a + b + c
e2 = ab + bc + ca
e3 = abc

Si este bine sa le vedem sub forma

e1(a,b,c)
e2(a,b,c)
e3(a,b,c)

Daca avem patru litere, a,b,c,d, atunci putem forma
e1(a,b,c,d) = a+b+c+d
e2(a,b,c,d) = ab + ac + ad + bc + bd + cd
e3(a,b,c,d) = bcd + acd + abd + abc
e4(a,b,c,d) = abcd .

Vedem ca avem de fapt
e1(a,b,c) = e1(a,b,c,0)
e2(a,b,c) = e2(a,b,c,0)
e3(a,b,c) = e3(a,b,c,0)

si in literatura oamenii se gandesc ca avem in general argumente de forma
(a,b,c,...,x,0,0,0,0,0,...)

dar lucrul acesta depaseste nivelul clasei a VIII-a.
(Insa ajuta la a vedea toate inegalitatile ca un tot unitar.)

Cautam acum inegalitati intre lucruri "de acelasi grad" (inegalitati homogene).

De exemplu, pentru trei litere
a,b,c > 0,
ce inegalitati homogene putem scrie?

Una dintre ele este

( e2(a,b,c) / e2(1,1,1) ) ^2 >= ( e1(a,b,c) / e1(1,1,1) ) * ( e3(a,b,c) / e3(1,1,1) ) .

Ei bine, exista si forma generala pentru cazul cand avem mai multe variabile...
Acei numitori e?(1,1,1) intra in discutie, pentru ca vrem sa avem egalitate pentru cazul cu a=b=c .

Putem si cred ca este bine sa intindem coarda la maxim, iata cam tot ce se stie despre inegalitati intr-un fel de articol orientativ:
http://www.facstaff.bucknell.edu/pm040/PennState/Slides/greene.pdf
Cer scuze de mai multe ori la rand, dar cu timpul parti din acest articolas vor deveni din ce in ce mai usor de digerat...