Buna,as avea si eu o problema legata de geometria afina:intrebarea mea este cum il pot afla pe delta mare in functie de care pot afla natura conicei? Am prima conica : 6X^2-4XY+9Y^2-4X-32Y-6=0.

Nu stiu aici cine este delta mare, dar probabil ca este BB - 4AC de aici:
http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant#Discriminant_of_a_conic_section

Se mai cere: Sa se determine trnasformarea de coordonate ortonormate care conduce la o ecuatie canonica.Am inteles ca conica este o elipsa reala,dar nu inteleg cum sa determin transformarea de coordonate ortonormate!

Avem conica cu ecuatia generala :

Pentru cazul

, conica se obtine printr-o rototranslatie.
Putem folosi invariantii metrici :

,

si

Pentru

avem cazul unei conice nedegenerate, urmand sa studiem

:

(elipsa),

(hiperbola),

(parabola).
Pentru

avem cazul conicelor degenerate.


In cazul de fata, vorbim despre o elipsa, cu

si

.

[url]www.wolframalpha.com/input/?i=6X^2-4XY%2B9Y^2-4X-32Y-6%3D0


Pentru partea a doua a problemei, recomand sa va uitati peste explicatiile D-lui Gauss de mai jos. Daca doriti mai detaliat :http://www.edumanager.ro/community/documente/geometrie.pdf sau http://www.unitbv.ro/Portals/19/departament/colectiv/carte_neagu1.pdf

Sper ca este clar ce este o transformare ortogonala in plan.
cautam deci numerele a si b pentru care avem

[ a b ]
[-b a ]

matrice ortogonala, i.e. a² + b² = 1,
si pentru care facand schimbarea de variabila cu aceasta matrice (probabil in conventia din curs avem noile variabile dupa cum urmeaza)

s = aX - bY
t = bX + aY

i.e.

X = as + bt
Y =-bt + as

dupa inlocuire sa ne scapam de termenul mixt.
(Deci nu mai avem voie sa vedem nici un termen in st...)

Dam astfel de ecuatia unei elipse cu axele paralele cu axele de coordonate.

In general se poate procedaasa:
Se ia partea de gradul II a conicei, presupusa a fi de forma

A xx + 2B xy + C yy

apoi se asociaza matricea ce genereaza aceasta forma patratica

[ A B ]
[ B C ]

si se incearca diagonalizarea ei folosind vectori proprii de norma unu...
Cum stau lucrurile in cazul de fata?!

https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_form#Real_quadratic_forms

Inca ceva nu reusesc sa inteleg: la determinarea transformarii de coordonate ortonormate care conduce la ecuatia canonica izometrica imi apare acel versor i ca vector adica asa i(2/radical din 5,1/radical din 5),ma scuzati ca nu am folosit aici latex-ul.