Consider?m func?ia

. Demonstra?i c? exist? un unic punct

cu proprietatea c?

.

[Citat] Consider?m func?ia . Demonstra?i c? exist? un unic punct cu proprietatea c? .

f(0) nu e definit!

Mai umblu putin la enunt...
EDIT: Cele de mai sus sunt inca valabile, am mai lasat de la mine pentru ca am vazut paranteza dreapta si la infinit...
De ce nu este functia definita in 0?
(Intrebarea este desigur pusa pentru cel ce a plasat problema... Este o intrebare importanta... Mai intai trebuie clarificate lucrurile simple.)

[Citat] Consider?m func?ia . Demonstra?i c? exist? un unic punct cu proprietatea c? .

Functia f data este derivabila cu derivata continua pe tot domeniul de definitie,

f'(x) = (1/x)' -(ln x)' = -1/x² - 1/x < 0 .

Deci functia data este strict descrescatoare pe intervalul de definitie.
De aici unicitatea solutiei ecuatiei f(c) = 0 .
(Care este ceea ce vrea problema de la noi.)

Deoarece f(1) = (1-0)/1 = 1 si f(e) = (1-e)/e < 0 ...
Ce rezultat folosim? De ce putem sa il folosim?
Iata cu calculatorul valoarea aproximativa a solutiei:
(21:36) gp > solve( x = 1, 10, 1 - x*log(x) )
%1 = 1.763222834351896710225201777

Scuze! Am corectat enun?ul ini?ial!
Consider func?ia

. În primul pas ar?t c? func?ia are o r?d?cin? pozitiv? cu ajutorul Lemei lui Bolzano, apoi în pasul doi ar?t c? func?ia este injectiv? (func?ie descresc?toare )deci are cel mult o solu?ie ?i anume

, de unde rezult? cerin?a!
Cu bine!

[Citat] Scuze! Am corectat enun?ul ini?ial!

Nu este nici o problema, aici, pe aceasta pagina, aici in primul loc dintre toate celelalte din lume recomand a se face greselile. (In fine, fiecare tip de greseala de cel mult doua-trei ori...)

Am vazut codul latex, din punctul meu de vedere este deja foarte mult pe drumul comunicarii si al facerii de lucruri utile pentru viata. In curand comunitatea matematica, fizica, literara sau rebusista din Romania va folosi latex cu o estetica deosebita.
(In plus, latex-ul educa foarte bine precizia. Daca se face o greseala, nu se complileaza codul.)

[Citat] Consider func?ia . În primul pas ar?t c? func?ia are o r?d?cin? pozitiv? cu ajutorul Lemei lui Bolzano, apoi în pasul doi ar?t c? func?ia este injectiv? (func?ie descresc?toare ) deci are cel mult o solu?ie ?i anume , de unde rezult? cerin?a! Cu bine!

(Am corectat din punct de vedere estetic putin acel ln x in \ln x, latex gaseste o cale mai buna de evidentiere, de asemenea am inlocuit acel \Rightarrow care se foloseste in implicatii logice cu \to care se foloseste pentru functii. Ar fi posibil si \rightarrow .)

Unele lucruri rele au fost schimbate in lucruri bune... si invers.

Functia inventata este alta functie. Am botezat-o cu g ca sa ma pot referi si la f , si la g.

Functia f avea numitorul x. (Am vrut sa stiu ca din cauza acestui numitor si din cauza logaritmului trebuie sa excludem valoarea zero...)

Acest lucru ne face un serviciu deosebit. Cu acest "factor de corectura" functia f este descrescatoare. Ii cautam anularile si rezolvam repede unicitatea pentru ecuatia in c

c ln(c) = 1 .

Functia g este poate si functia pe care as fi luat-o din prima pentru a cauta solutia unica, dar analiza este mai complicata in acest caz. Pe scurt.
Derivata lui g este

g'(x) = ln(x) + 1

care este o functie crescatoare, se anuleaza in e^(-1) = 1/e, deci g'<0 pana la 1/e si g'>0 de la 1/e la infinit.

Deci g descreste strict pana la 1/e, unde ia valoarea negativa -1/e-1, apoi creste strict si avem de exemplu g(e) = e-1 > 0 .
Aceeasi lema a lui Bolzano ne asigura ca avem exact o anulare a lui g pe ( 1/e, e ) .

Dar de ce nu avem nici o anulare a lui g pe ( 0, 1/e ) ?

(Cu functia f nu aveam astfel de probleme... Exista un argument simplu pentru intrebarea de mai sus, dar analiza lui g ne-a facut sa scriem o droaie de propozitii...)