Buna ziua !
Am nevoie de un ajutor la o problema .
Fie ABCD un paralelogram . Sa se arate ca pentru orice punct M din plan are loc relatia MA patrat + MC patrat = MB patrat + MD patrat daca si numai daca ABCD dreptunghi .

Considera?i centrul paralelogramului ?i folosi?i teorema medianei.

Solutie alternativa:

(1) Daca stim ca pentru orice M avem relatia data, aplicam relatia pentru
M = D .
Obtinem DB² = DA² + DC² = DA² + AB² , deci ABD este triunghi dreptunghic (reciproca teoremei lui Pitagora) si am terminat o implicatie.

(2) Cealalta implicatie.
Daca ABCD este paralelogram, sa consideram un punct M oarecare in plan.

Consideram cele patru proiectii P,Q,R,S ale lui M pe cele patru laturi ale dreptunghiului. Folosind teorema lui Pitagora in triunghiurile dreptunghice formate cu unghiurile drepte in P,Q,R,S si care au ca ipotenuza corespunzator segmentele MA, MB, MC, MD obtinem relativ repede

MA² + MC² = MP² + MQ² + MS² + MT² = MB² + MD² .

Am terminat si a doua implicatie.

Multumesc foarte mult !

Vom folosi teorema medianei in triunghiurile eventual degenerate

. Luam O mijlocul comun al diagonalelor paralelogramului.
Din

, avem

.
Din

, avem

.
Egaland, avem

, deci

, dar al doilea factor nu se poate anula. Deci

. Paralelogramul ABCD are diagonalele de lungimi egale, deci e dreptunghi.

Multumesc !