Sa se calculeze limitele de functii:

a) lim(x->-1) din (x^2-x-2)tg[(pi*x)/2]
b) lim(x->infinit) din [x+1 -ln(x^2+1)]
c) lin(x->0) din [(3^(x+1) - 3)]^(sin x)
d) lim(x->2, x<2) din [sin (pi*x)/2]^(x-2)
e) lim(x->infinit) din ( pi/2 - arctgx) ^ (1/lnx)

Multumesc!

[Citat] Sa se calculeze limitele de functii: a) lim(x->-1) din (x^2-x-2)tg[(pi*x)/2] b) lim(x->infinit) din [x+1 -ln(x^2+1)] c) lim(x->0) din [(3^(x+1) - 3)]^(sin x) d) lim(x->2, x<2) din [sin (pi*x)/2]^(x-2) e) lim(x->infinit) din ( pi/2 - arctgx) ^ (1/lnx) Multumesc!

(a) Descompunem (x^2-x-2) = (x+1)(x-2) si trecem normal la limita in partea cu (x-2), inlocuind x cu -1, incat dam de (-1-2) .
Partea cu tg o scriem drept sin / cos si trecem normal la limita in sin( pi x / 2 ). Ramane sa calculam cu l'Hospital limita raportului

(x+1) / cos(pi x / 2)

care sper ca nu pune probleme.

(b)
Daca suntem inclinati sa calculam cu l'Hospital limita lui

[x+1 -ln(x^2+1)]
-----------------
(x+1)

trebuie poate sa ne asiguram inainte ca suntem in cazul infinit / infinit (sau sa stim lucruri mai delicate). Dar daca stim ca suntem in cazul cu infinitul la numarator nu mai trebuie sa facem nimic.

Asadar o solutie mai directa este cea in care ne legam de functia
f(x) = [x+1 -ln(x^2+1)] - x/2
definita (mai bine zis, considerata de noi) pentru x>100,
ne legam de f'(x) = 1/2 - 2x/(1+x²) > 1/2 - 2x / x² > 1/2 - 2/100 > 0 ,
deci f este crescatoare, deci limita se ia dintr-o expresie mai mare decat
x/2 + f(100)
(dincolo de 100)
deci limita este nula.

(Eu prefer mereu argumentul de minorare, daca se poate da repede. Metoda se numeste "ne facem mainile murdare".
La scoala se prefera argumentul care vine din aplicarea unui rezultat general, metoda se numeste "aplicare curata".)

(c) Trebuie sa trec la LaTeX...

(d)
L = lim(x->2, x<2) din [sin (pi*x)/2]^(x-2)
este cam de aceeasi forma ca cele vazute la (c).
Inseram exp ln in fata lui lim,
trecem functia continua ln dincolo de limita,
obtinem ln din toata expresia [sin (pi*x)/2]^(x-2) ,
scoatem puterea (x-2) in fata lui ln,
ducem (x-2) intr-un numitor fortat, avem deci de calculat limita din

ln [sin (pi*x)/2]
------------------
1/(x-2)

suntem in cazul ( -oo ) / ( -oo ) , putem aplica l'Hospital,
chiar aplicam si ne scapam de ln,

dam de un sin de ceva in numitor si de un (x-2)² in numarator, multe constante altfel,

sinusul supra unul din factorii (x-2) converge la ceva finit,

ramane celalalt factor care face ca totul de sub limita sa tinda la 0,

dam de exp(0) = 1 .


(e) Punctul acesta trebuie sa il facem impreuna, ca sa vedem ca nu am tiparit degeaba. Ce facem deci?



Cu calculatorul:

sage: limit( (x^2-x-2) * tan( (pi*x)/2 ) , x=-1 )
6/pi
sage: limit( x+1 - ln(x^2+1) , x=oo )
+Infinity
sage: limit( (3^(x+1) - 3) ^ (sin(x)) , x=0 )
1
sage: limit( ( sin( pi*x/2) ) ^ (x-2) , x=2 )
1
sage: limit( ( pi/2 - arctan(x)) ^ (1/ln(x)) , x=oo )
e^(-1)