[Citat]
P.S. Eu nu astept rezolvarea mura-n gura, ci din contra m-am chinuit la ea (am incercat sa o abordez in principal cu modulo, dar nu e chiar asa de simplu) si am intrebat si alte persoane (evident nici ele nu au stiut rezolvarea)!
|
In cazul in care vin argumente sau incercari, incerc sa comentez.
Nu voi face nici un pas in directia rezolvarii, dar voi incerca sa ajut la cautare.
Voi demonstra repede ca ecuatia data are solutii modulo p pentru orice numar prim p.
(Intrebare: Cum stam cu aceeasi ecuatie modulo p², p³, ... ?)
Fixam un astfel de numar prim, care nu este nici 2, nici 5.
Consideram functia A( y, z ) = y^10 - z^5 + 6 .
Avem valorile:
A( 1, -1 ) = 8 = 2³ ,
A( 0, 1 ) = 5 ,
A( 1, -3 ) = 250 = 2 . 5³ .
Daca unul dintre numerele de mai sus este patrat modulo p, am castigat.
Daca 2 este patrat modulo p, am castigat asadar cu primul numar. Sa zicem ca nu este.
Daca 5 este patrat modulo p, am castigat asadar cu al doilea numar. Sa zicem ca nu este.
Dar atunci al treilea numar este, folosim pentru aceasta simbolul lui Legendre,
http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol si multiplicativitatea lui.
Pentru 2, 5 cautam si gasim punctele cu calculatorul:
Modulo 2 avem pentru x y z posibilitatile:
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Modulo 5:
0 0 1
0 1 2
0 2 0
0 3 0
0 4 2
1 0 0
1 1 1
1 2 4
1 3 4
1 4 1
2 0 2
2 1 3
2 2 1
2 3 1
2 4 3
3 0 2
3 1 3
3 2 1
3 3 1
3 4 3
4 0 0
4 1 1
4 2 4
4 3 4
4 4 1
Am terminat.
Deci daca exista o solutie a problemei "modulo ceva" trebuie mai intai sa mai "restrangem din raza de actiune" a uneia sau a alteia din litere.
Acum mai spun cateva lucruri despre problema.
(Initial mi s-a parut ca am o solutie, azi am vrut sa o tiparesc, dar am gasit o eroare de calcul. Asa ca iar o iau de la zero.)
Problema nu este definitiv una de clasa a IX sau a X-a, chiar daca cel ce a propus-o la nivel de aceasta clasa poate scrie solutia folosind doar elemente de aceasta clasa. Pentru a vedea cadrul, incerc sa inserez la intamplare un articol care se ocupa de probleme asemanatoare:
http://arxiv.org/pdf/1008.1905.pdf
Alte locuri (cu mai multa sau mai putina legatura):
http://eprints.maths.ox.ac.uk/266/1/art9.pdfpeople.maths.ox.ac.uk/flynn/genus2/stubbs/thesis.tex?http://arxiv.org/abs/1103.1979http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperelliptic_curvehttp://www-rcf.usc.edu/~mdhuang/cs599/class11.pdf
Sa incercam asadar sa intelegem o solutie pentru cazul cu y=0 si/sau cu y=1.
Eu as cauta mai intai pentru aceste valori speciale o solutie!
M-am straduit mai sus sa aleg un document pdf ce se poate intelege cat se poate de departe de catre cineva de pe clasa a IX-a. Desigur ca de la o vreme exista o anumita obstructie la citit mai departe. Dar din cand in cand mai vin exemple explicite, care pot da un cadru cat de cat orientativ.
(Aici putem lua la mana acest articol, putem incerca sa intelegem sistematic care sunt metodele de abordare in astfel de cazuri, este in orice caz un lucru mult mai util decat cautarea solutiei pentru problema data.)
In acest articol se spune direct ca in cautarea punctelor rationale pe curbe date de ecuatii de forma
Y² = polinom (nesingular) de grad 2g+1 sau 2g+2 in necunoscuta X ,
este bine sa impartim curbele in 3 tipuri (care depind de "genul" g al ecuatiei):
g = 0 , cel mai simplu caz, avem solutii (in Q) daca si numai daca avem solutii in IR *si* solutii modulo p pentru orice numar prim p.
Nu e cazul la noi (dupa ce am specializat y=0).
g = 1 , caz complicat deja, vine cu o intreaga teorie, se poate arata ca punctele cu coordonate rationale formeaza un grup abelian de rang finit si ca
avem un algoritm de gasit punctele intregi...
Nu e cazul la noi (dupa ce am specializat y=0).
Aceste curbe se numesc curbe eliptice si se merita a se lua la cunostinta cat se poate de repede. Se cunosc multe curbe eliptice care au solutii modulo fiecare numar prim p, dar nu au solutii in Q.
De exemplu (in forma homogena)
3x³ + 4y³ + 5z³ = 0 .
g = 2 si mai mare , caz foarte complicat.
Faltings a arat (in cadru foarte general, intr-o lucrare care a primit medalia Fields) ca pe o astfel de curba avem un numar finit de puncte rationale.
Desigur ca a inceput apoi o intreaga industrie de cautat "marginiri" pentru cele cateva puncte care le ofera teoria, in speranta ca trebuie sa cautam cu computerul pana la un nivel relativ jos. A aparut astfel notiunea de "inaltime" a unui punct rational, height, pe engleza, de aceea litera folosita pentru o inaltime sau alta este notata cu h in literatura. (Cu un h sau altul.)
Este cazul nostru.
Curbele ce corespund unui astfel de gen g se numesc hipereliptice.
(Cele cu g=1 se numesc eliptice, asadar cum sa le numim pe cele cu g>1 ?)
Ca exercitiu putem incerca sa vedem de ce nu dam de puncte intregi pe curba
x^2 = z^5 + 6 .
Sper ca cele de mai sus ajung pentru o oarecare orientare...
!Multumesc! 
Access general
Conţine mesaje necitite
