Buna ziua,

Va rog sa ma ajutati cu rezolvarea pentru:




Multumesc!

Buna ziua,

Va rog sa ma ajutati cu rezolvarea subiectului.

Multumesc!

Cateva franturi de enunt ar fi fost ajutatoare.
(In plus, stapanirea si folosirea latex-ului este deja un lucru de la sine inteles, drept paralela, orice arhitect si orice medic trebuie intre timp sa puna mana si pe tastatura pentru a-si face munca...)

(a)

(b)

Este clar ca trebuie sa ne apucam sa derivam.
Semnul lui f' ... are ceva de-a face cu semnul lui g(x) = (x+1)/(x²+1) - arctan x .

In cel mai rau caz derivam acum g-ul si ii stabilim monotonia.
Ce face probleme la acest mod de abordare? Care este derivata lui g? Ce semn are aceasta pe [0,1] ?

Mai ramane sa integram f, functie continua si marginita (deci integrabila), pe [0,1] . Atunci una din urmatoarele metode de evaluare trebuie sa duca la succes.

- substituim x = tan(y) . Dam de o integrala a unei functii de y de forma

y . (expresie rationala de functii trigonometrice de y) .

Integram prin parti.
Aceasta metoda este cea mai la indemana poate, desigur ca la integrarea prin parti putem sa dam de lucruri ne-trigonometrice care ne vor bloca... dar speram sa mearga.

- deformam, adica integram mai bine
J(a) = integrala de la 0 la 1 a functiei arctan( ax ) / (1+x) dx .
Castigam in parte, deoarece J(0) = 0 si vedem ca J'(a) este integrala unei functii rationale. (Derivata intra sub integrala, deci derivam dupa a functia arctan(ax) ... ) Si aici putem sa dam de expresii complicate, greu integrabile pentru J'(a), dar speram sa mearga mai usor sa integram in ele dupa a...

Mai devreme sau mai tarziu trebuie sa dam de ceea ce obtinem numeric:

(20:37) gp > intnum( x=0, 1, atan(x) / (1+x) )
%1 = 0.2721982612879502663125861123
(20:38) gp > Pi / 8 * log(2)
%2 = 0.2721982612879502663125861123

Va rog sa fiti mai explicit in ceea ce priveste calculul integralei.

Multumesc!