Buna ziua,

Va rog sa ma ajutati cu rezolvarea punctului c) urmator:





Multumesc!

Consideram functia implicita

F : IR² -> IR
F(x,y) = x³ + x - 2 - y .

Avem F(1,0)= 0 .
F este de o infinitate de ori derivabila.
Derivata dupa x in jurul lui (1,0) este local ceva diferit de zero.
Aplicam teorema functiilor implicite.
Rezulta ca exista o functie implicita y -> s(y) definita local in jurul lui y=0 cu
0 -> s(0) = 1 .
Din teorema functiilor implicite stim ca s este de o infinitate de ori derivabila.
Noua ne trebuie doar prima derivata.

Desigur ca s(y) este (local) solutia ecuatiei

x³ + x + 1 = 3 + y .
Deci sirul din problema nu este altceva deca s( 1/(n+1) ) .

Punctul (b) vrea limita din s( 1/(n+1) ) .
Deoarece s e functie continua, limita este s(0) = 1 .

Punctul (c) vrea limita catului de variatie

s( 1/(n+1) ) - s(0)
------------------------
1/(n+1) - 0

Deoarece s e functie derivabila in 0, limita este s'(0) .
Calculam aceasta valoare din relatia de definitie a lui s:
F( s(y), y ) = 0 , adica

s(y)³ + s(y) - 2 - y .

Derivam dupa y .
Dam de

s'(y) ( 3s²(y) + 1 ) - 1 = 0 .

Inlocuim y=0 pentru a da de
s'(0) ( 3s²(0) + 1 ) = 1 .
Dar s(0) = 1 .
Deci s'(0) = 1/4 .



Intelegem cum stau lucrurile ceva mai bine daca calculam atunci
f(1) si
f( 1 + 1/(4(n+1)) )
unde f este functia din enunt.