Buna ziua
Am de calculat pentru f(x)=(3x-2)/(x^2 (x + 2)^2) urmatoarea limita:

lim pentru x tinzand la infinit din(f(1) + f(2) + f(3)+...+f(n))^n
Eu am incercat o rezolvare dar nu sant sigur ca este corecta.

[Citat] Buna ziua Am de calculat pentru f(x)=(3x-2)/(x^2 (x + 2)^2) urmatoarea limita: lim pentru n tinzand la infinit din ( f(1) + f(2) + f(3)+ ... +f(n) )^n Eu am incercat o rezolvare dar nu sant sigur ca este corecta.

(spatierea...)
Nu vad nici o legatura cu integrala Riemann, decat daca vrem sa complicam lucrurile. In cazul nostru, primele valori ale functiei sunt

(19:13) gp > for( k=1,10, print( k, " -> ", f(k) ) )
1 -> 1/9
2 -> 1/16
3 -> 7/225
4 -> 5/288
5 -> 13/1225
6 -> 1/144
7 -> 19/3969
8 -> 11/3200
9 -> 25/9801
10 -> 7/3600

Sirul de mai sus descreste abrupt.
Putem incadra f(x) usor, vazand ca numaratorul este intre 0 si 4x+4, deci

0 < f(x) < 1/x^2 - 1/(x+2)^2 .

Din majorare dam de o suma telescopica. Rezulta ca

f(1) + f(2) + ( f(3) + f(4) + ... + f(n-1) + f(n) )

se afla intre 0 si
f(1) + f(2) + ( 1/3² + 1/4² - 1/(n-1)² - 1/n² ) < 1/2 .

Ridicam la puterea a n-a si trecem la limita cu acest cleste.