1 .Sa se arate ca pentru calculul limitelor de mai jos nu pot fi aplicate regulile lui l'Hospital:

2. Fie a un numar real si f: (a,oo)->R o functie derivabila cu proprietatile:
a) lim (x->oo) din f(x) exista si este finita;
b) lim (x->oo) din f'(x) exista.
Aratati ca lim (x->oo) din f'(x)=0

[Citat] 1 .Sa se arate ca pentru calculul limitelor de mai jos nu pot fi aplicate regulile lui l'Hospital: 2. Fie a un numar real si f: (a,oo)->R o functie derivabila cu proprietatile: a) lim (x->oo) din f(x) exista si este finita; b) lim (x->oo) din f'(x) exista. Aratati ca lim (x->oo) din f'(x)=0

La primul punct enuntul nu este matematic.
Eu nu vad nici o problema in a calcula in ambele cazuri in locul limitei lui

f(x)

limita expresiei

x f(x)
--------
x

folosind l'Hospital. (Simplificarea este o metoda prea rapida, conteaza doar folosirea lui l'Hospital.) Cum calculez mai departe limitele derivatelor numaratorului / numitorului este treaba mea.

(2)
(Inlocuind f cu o functie de forma
f - constanta
putem presupune la (a) ca limita este nula. Nu avem nevoie sticta, dar putem...)

Sa presupunem prin absurd ca limita derivatei spre infinit nu este nula.
Ea este atunci un numar nenul p (cu p de la panta).
Putem lua p > 0, altfel inlocuim f cu -f.

Atunci de la o vreme
(adica exista M real a.i. pentru x > M)
avem

p/2 < f'(x) < 2p .

Functiile f(x) - px/2 si 2px - f(x) sunt atunci strict crescatoare de la o vremem (derivatele fiind...) deci f se afla intre px/2 si 2px/2, contradictie cu marginirea.