Sa se calculeze, utilizand teorema reziduurilor:

Am incercat sa o rezolv cu metoda prezentata aici: http://www.webassign.net/zillengmath4/19.6.pdf dar nu pot aduce integrala la forma

, pentru ca functia nu este para.

[Citat] Sa se calculeze, utilizand teorema reziduurilor:

Eu as incerca cu un contur inchis de forma urmatoare:

Ne dam R un numar "mare". (Curand va tinde la infinit.)
Consideram conturul (C) format din trei parti:

(C1) : intervalul pe Ox de la (0,0) la (R,0) .
(C2) : arcul de cerc de raza R de la (R,0) la (0,R) .
(C3) : intervalul pe Oy de la (R,0) la (0,0) .

Pentru R > 1 am inghitit deja polul din
cos( pi/4 ) + i sin( pi/4)
in interior.

Scriem relatia si trecem la limita cu R spre infinit,
Pe scurt:

sage: f = x / (x^4+1) ;
sage: J = integral( f, (x,0,oo) )
sage: J
1/4*pi
sage: a = (1+i) / sqrt(2)
sage: a^4
-1
sage: RES = limit( f * ( x - a ), x=a )
sage: RES
-1/4*I
sage:
sage: 2 * J == 2*pi*i * RES
1/2*pi == 1/2*pi

Cred ca ati vrut sa spuneti ca (C3) este intervalul pe Oy de la (0,R) la (0,0).

Am scris:

si acum cred ca

, dar nu imi dau seama de ce.

[Citat] Cred ca ati vrut sa spuneti ca (C3) este intervalul pe Oy de la (0,R) la (0,0).

Da, multumesc!

Parametrizam intervalul de la iR la i0 folosind functia g(t) = it, unde t se plimba de la R la 0 .

Substituim.
Atunci avem de integrat de la R la 0

(it) d(it) / ( (it)^4 + 1 )

Nu stiu cum sa explic mai bine.
Semnul din i² se duce cu semnul schimbarii limitelor de integrare.

(Daca integram de la R la 0 este ca si cum luam minus integrala de la 0 la R.)
(Apoi din i² mai vine celalalt semn de minus unu.)
(Nu se poate sa gresim cu semnul incat de exemplu integralelel pe (C1) si (C3) sa se cancereze reciproc, deoarece in interiorul conturului avem un pol, deci integrala pe contur este nenula.
Pentru R spre +infinit, integrala pe conturul (C2) tinde la zero, deoarece modulul functiei de integrat se poate majora cu R / (R^4/2) pentru R > 10 si lungimea conturului este liniara in R, deci produsul cu majorarea tinde la zero.)

Acum e clar. Multumesc.