Va rog sa imi indicati si mie o rezolvare pentru urmatoarea problema: Fie a, b, c numere intregi. Aratati ca daca 9 | a^3+b^3+c^3, atunci 3| abc.

In primul rand, 3|abc inseamna ca 3|a sau 3|b sau 3|c. Presupunem ca nu avem nici una din aceste divizibilitati.
Acum, daca a si b (sa zicem) dau resturi diferite la imartirea cu 3 (in cazul nostru, 1 si 2) se deduce usor ca 3|c (tinem cont de faptul ca

).
Presupunand ca toate trei numerele dau acelasi rest la impartirea cu 3, sa zicem 1 (analog se trateaza si cazul cu 2), nu e greu de verificat ca in cazurile in care a,b si c dau resturile (1,1,1),(4,4,4),(7,7,7),(1,1,4),(1,4,4),(1,1,7),(1,7,7),(4,4,7), respectiv (4,7,7),(toate combinatiile posibile) la impartirea cu 9 (permutarile nu mai conteaza in cazul nostru) nu se verifica conditia din ipoteza. Etc.

[Citat] Va rog sa imi indicati si mie o rezolvare pentru urmatoarea problema: Fie a, b, c numere intregi. Aratati ca daca 9 | a^3+b^3+c^3, atunci 3| abc.

Cam acelasi lucru:

Presupunem ca 3 nu divide a,b,c .
Atunci fiecare din aceste numere este de forma Multiplu(3) plus/minus 1.
Explicit gasim intregi m,n,p si semne s,t,u (intre -1 si +1) cu

a = 3m + s
b = 3n + t
c = 3p + u

Ridicam la puterea a treia si vedem in a³ + b³ + c³ sunt o multime de factori divizibili cu 9, cei ce nu sunt... sunt doar
s³ + t³ + u³ = s+t+u ,
suma celor trei semne,
un numar cu valorile posibile
-3, -1, 1, 3 .
Nici una din aceste valori nu se divide cu 9.

De aici rezulta cele cerute.