As putea incepe cu... "Din cauza simetriei, odata cu solutia (x,y,z) si (y,x,z) este solutie..." dar de data asta vreau sa fiu mai atent in a nu merge in directia gresita. ("Daca" apare in problema, nu apare un "numai daca".)
M-am decisi pentru solutia geometrica in problema de fata, o problema de geometrie algebrica reala (in IR).
Prima ecuatie este un paraboloid de rotatie, ne gandim la parabola de ecuatie
z = x²
in planul Oxz vazut ca planul cu acelasi nume din spatiul Oxyz .
Rotam aceasta parabola in jurul lui Oz pentru a da de paraboloid.
Planul P(a) : x + y + z = a este un plan cu normala (1,1,1).
Desenam dreapta
(D)
cu acest vector de directie care trece prin origine si lasam un plan sa se plimbe perpendicular pe ea. Daca il luam prin origine, el taie paraboloidul intr-o curba de grad II, o conica inchisa, deci o elipsa. Daca mutam acum planul paralel cu el, incat sa taie (D) intr-un punct
( a/3, a/3, a/3 ) cu a>0, dam ca intersectie intre plan si paraboloid de o elipsa "din ce in ce mai mare", pe cand daca il lasam pe a sa tinda la -infinit, P(a) nu mai intersecteaza. La un anumit punct a avem tangentza.
Aici intervine acelasi argument de simetrie, dar ca argument ce permite o trecere echivalenta. In acest punct de tangentza avem egalitatea primelor doua coordonate. Ne reducem la o problema cu o variabila mai putin...
Access general
Conţine mesaje necitite
