Care este valoarea sumei seriei

, ?tiind c?

?

Am dat drumul la sage...

sage: var( 'k,x' );
sage: sum( (1+6*k)*x^k, k, 0, oo )
(5*x + 1)/(x^2 - 2*x + 1)

Apoi am vazut ca suma de mai sus nu este tocmai cea ce am citit-o vazand doar primii cativa termeni. Probabil ca este vorba de

sage: var( 'k,x' ) ;

sage: expand( 1 + x * sum( (7+5*k+k^2) * x^k, k, 0, 5 ) )
57*x^6 + 43*x^5 + 31*x^4 + 21*x^3 + 13*x^2 + 7*x + 1

sage: factor( 1 + x * sum( (7+5*k+k^2) * x^k, k, 0, oo ) )
-(2*x^3 - 5*x^2 + 4*x + 1)/(x - 1)^3

Rog a se da formula coeficientilor, apoi putem calcula direct.
In cazul de fata am ghicit ceva... Probabil ca nu am ghicit bine

Dac? se adaug? ?i se scade 2 atunci rezult? seria

unde

.

Atunci este rezultatul dat de calculator.
(k-ul pe care l-am folosit eu ca variabila de sumare si n-ul de mai sus se corespund - diferenta este 2.)

Eu am g?sit mai întâi o valoare a lui

în func?ie de

?i

?i m? întreb cum se poate ajunge pentru

tinzând la infinit la valoarea lui

dat? de programul Dvs. de calcul.Putem considera

?
V? mul?umesc pentru r?spunsuri!

[Citat] Eu am g?sit mai întâi o valoare a lui în func?ie de ?i ?i m? întreb cum se poate ajunge pentru tinzând la infinit la valoarea lui dat? de programul Dvs. de calcul.Putem considera ? V? mul?umesc pentru r?spunsuri!

Nu am inteles, din pacate. Sunt prea multe litere nedefinite.
Banuiesc ca este vorba de formula "trunchiata", a sumei care merge pana la un N.
Deducerea acesteia este mai complicata (pentru mine) decat deducerea formulei in care luam suma pana la infinit.

Acelasi program (sage, liber) lucreaza ireprosabil:


sage: sum( (n^2+n+1) * x^(n-1) , n, 1, N )
((x^2 - 2*x + 1)*x^N*N^2 + (x^2 - 4*x + 3)*x^N*N + (x^2 - 2*x + 3)*x^N - x^2 + 2*x - 3)/(x^3 - 3*x^2 + 3*x - 1)

sage: ( sum( (n^2+n+1) * x^(n-1) , n, 1, N ) ) . factor()
(3*x^N - x^2 + 2*x + x^(N + 2) - 2*x^(N + 1) + x^N*N^2 + N^2*x^(N + 2) - 2*N^2*x^(N + 1) + 3*x^N*N + N*x^(N + 2) - 4*N*x^(N + 1) - 3)/(x - 1)^3

sage: ( -2 + sum( (n^2+n+1) * x^(n-1) , n, 1, oo ) ) . factor()
-(2*x^3 - 5*x^2 + 4*x + 1)/(x - 1)^3

Dam desigur de aceeasi limita.

La ultima intrebare... Nu putem desigur sa inseram in locul lui n un lucru neconstant, ceva ce depinde de n !

De-acord cu Dv. , dar dac? x este foarte apropiat de valoarea 1 adic? tinde la 1 atunci putem spune c? valoarea lui E tinde la infinit?Oare programul de calcul "WolframAlpha" ce rezultat ar da?
Înc? o dat? v? mul?umesc mult pentru r?spunsuri!Toat? stima!

Seria data tinde la o functie analitica cu "pol in 1", limita nu exista.
(Este infinita.)

Este acelasi caz ca si cu seria

1 + x + x² + x³ + ...

cand x tinde (prin valori x<1) spre 1.
(Coeficientii din seria noastra sunt chiar mai mari, avem deci minorare prin aceasta serie geometrica.)