[Citat]
a,b,c>=0
a^2 + b^2 + c^2=3
Sa se demonstreze inegalitatea (a^3+a+1) (b^3+b+1) (c^3+c+1)<=27
PS: problema este propusa la clasele a IX-a si a X-a |
Da, a mai fost pe aici, data trecuta m-am abtinut sa fac comentarii, am vazut solutia, era un trucaj, dar deoarece nu pot sa imi amintesc sub nici o forma din ce parte vine trucajul o sa scriu aici cateva cuvinte.
Logaritmam inegalitatea data.
Vedem repede ca inegalitatea obtinuta echivalent este exact una de forma
( f(a²) + f(b²) + f(c²) ) / 3
este o expresie mai mica sau egala decat
f( (a²+b²+c²) / 3 ) .
De fapt este bine sa scriem deja x,y,z in loc de acele patrate.
( f(x) + f(y) + f(z) ) / 3
este o expresie mai mica sau egala decat
f( (x+y+z)/3 ) .
Acest lucru se intampla daca (si numai daca in anumite conditii, dar la noi nu avem pe partea dreapta nimic miscator, ci doar f( 3/3 ) = f(1) ... in fine)
f este o functie concava.
La nivel de clasa a XI-a se deriveaza f de doua ori, se studiaza semnul, de obicei se termina repede aici problema.
Cel ce a propus problema este de obicei constient de faptul ca propune o problema usoara la nivel de a XI-a, dar vrea sa faca viata cat mai grea pentru cei de a X-a.
De aceea isi alege o functie cat se poate de urata.
Autorul unei astfel de probleme spera de obicei ca foarte multi nu vor intelege ghicitoarea nemaipomenita. (Este clar ca cei ce stiu de convexitate / concavitate sunt puternic avantajati.)
Isi doreste de obicei ca oamenii sa faca cat mai multe calcule fara a vedea un liman.
De obicei, solutia merge dupa un calapod general, se incearca cam aceleasi calcule brute pentru ceva mai putine litere, anume ceva de forma
( f(x) + f(y) ) / 2
este o expresie mai mica sau egala decat
f( (x+y)/2 ) .
Si aici vine marele artificiu...
De obicei, aceasta idee deosebita de a compune probleme nu da pace, mai trece o luna si compozitorul gaseste alta functie urata pentru care se poate scrie dupa aceeasi reducere de litere o solutie la nivel de clasa a X-a folosind...
Eu sunt de mult impotriva acestui mod de a propune probleme care se rezolva in cadrul lor natural foarte usor, dar care puse cu o clasa mai devreme devin adevarate ghicitori, cei ce isi sparg capul cu solutia nu gasesc "convexitatea", dar daca ar fi asa as lauda acest mod de invatare a matematicii prin probleme, ci gasesc "artificiul".
Din artificiu nu se invata nimic.
Un elev genial poate fi in acest mod obstructionat in libertatea creatiei 10 ani mai tarziu cand va face cercetare matematica in structuri umane, pentru ca el nu a invatat din timp sa gandeasca structural, ci sa gandeasca prin mestereala, carpire, imbinare ingenioasa de argumente nenaturale.
Din partea mea gazetele pot propune 50% din probleme si asa. Dar este nevoie de ceilalti 50% din propunatorii de probleme care arata si altceva.
Access general
Conţine mesaje necitite
