1. Sa se arate ca pentru orice m,n apartin N* , exista

.
2. Fie f:[a,b]->R o functie derivabila si f'(x) diferit de 0 ,oricare ar fi x din intervalul (a,b) .Sa se arate ca f(a)diferit de f(b).

[Citat]

(1)
m se afla in unul din urmatoarele cazuri:
- este 1
- este 2
- este de la 3 inainte.

n are aceleasi sanse.

Problema chiar vrea de la noi sa studiem cele 3x3 cazuri, nu vad nici un fel de alta dificultate. (Din motive didactice nu vreau alt artificiu...)
Ajunge sa mai reducem din cazuri si sa le studiem imediat pe cele ramase.
In primul rand cazurile cu m=n sunt clare. raman 7 cazuri.
De asemenea, substitutia y = pi/2 -x schimba problema pentru x si (m,n) in aceeasi problema pentru y si (n,m) .
Ne reducem astfel repede la cazul cu m < n .
Sa vedem care cazuri au ramas.

m=1 si n=2
m=1 si n>2
m=2 si n>2
m,n > 2 .

In cazurile cu m=2 sau n=2 ne ramane o ecuatie cu o functie trigonometrica ce trebuie pe ( 0, pi/2 ) sa ia o valoare in (0,1) . Ne putem aranja.

Daca m=1 si n>2 trebuie sa ne uitam la o anumita functie...
( sin x )^(n-2) . (cos x)
si sa vedem ca ea trece de 1/n pe intervalul de la 0 la pi/2 .
La capete avem valoarea 0.
Daca suntem ambitiosi, ii cautam maximul.
Ridicam la patrat, functia la patrat trebuie sa treaca (cu maximumul) de 1/n².
Substituim sin²x = z si dam de un polinom in z de maximat pe (0,1) .
Derivam, stim locul cu maximul, inlocuim si trebuie sa mai aratam o inegalitate.

Cazul cu m,n>2 este simplu, inmultim mezii cu ... scriem ca diferenta, dam de o functie care la capetele intervalului [ 0, pi/2 ] are semne diferite.

(2) Stim cumva ca o functie continua pe un interval compact (inchis + marginit ca [a,b]) isi atinge maximul si minimul? Daca da, care este valoarea derivatei in aceste puncte (doua sau mai multe9 de extrem global?

Daca nu, stim macar ca exista supremumul lui f pe (a,b) . Din partea mea si +oo.
Luam un sir ( x(n) ) pentru care valorile lui f pe el aproximeaza acest maxim.
Trecand la un subsir putem presupune ca ( x(n) ) este un sir crescator.
El este si marginit (de a si b). Deci converge.
Din continuitatea lui f...

Nota: In astfel de cazuri este bine sa se specifice si incercarile proprii.
Nota: Rog a se investi mai mult efort in partea cu latex. Nu stiu ce editor intermediar se foloseste... Mai mult strica decat ajuta...

Se precizeaza utilizarea functiilor auxiliare de tip Rolle .