Am obtinut destul de usor ca f(f(x))=x (x=rational), adica f-bijectiva!Mai incolo.....

Introducem functia ajutatoare g tot de la Q la Q data de relatia

g(x) + 1 = f(x+1) , pentru orice x in Q.

Dam de o ecuatie functionala usor purificata in g, anume

g( x + g(y) ) = y + g(x) , pentru orice x, y numere rationale.

La fel de repede facem rost de gg = Identitatea pe Q, de exemplu din
g g( x+g(y) ) = g( y + g(x) ) = x + g(y) si il fixam pe y=0 si cand x parcurge Q la fel de bine x + g(0) parcurge Q .

Deci g este bijectiva, cum s-a vazut mai sus si pentru f.
Folosim ecuatia functionala data pentru x = g(z) . Dam de

g( g(z) + g(y) ) = y + gg(z) = y + z , pentru orice y,z numere rationale.

Mai aplicam o data g pe cele de mai sus pentru a da de

g(z) + g(y) = g(y + z) , pentru orice y,z numere rationale.

De aici imediat g(0) = 0 .
Notam cu a valoarea lui g(1).
De aici rezulta inductiv printr-un procedeu inductiv cunoscut g( nx ) = n g(x) pentru orice x rational si orice n natural (apoi intreg, apoi rational daca e nevoie). Destul de repede dam de

g(x) = ax pentru orice x rational.

Ecuatia functionala initiala in g este satisfacuta daca si numai daca a satisface pentru orice x,y rationale relatia

a ( x + ay ) = y + ax .

Deci aa = 1 . Deci a ia una din valorile -1 sau +1 .
Ramane sa traducem acest lucru in lumea lui f.