Rezolvati in R ecuatia:
a*b*+b[c]+c[a]=3

Problema este dintr-o carte veche de admitere la liceu.

prin *b* am notat partea intreaga a lui b, deoarece notatia standard nu merge, dand bold.

[Citat] Rezolvati in IR ecuatia: a [ b ] + b [ c ] + c [ a ] = 3 Problema este dintr-o carte veche de admitere la liceu.

Scriem

a = m + x
b = n + y
c = p + z

unde m,n,p sunt numere intregi si
unde x,y,z sunt numere reale in [ 0, 1 ) .

Ecuatia date in a,b,c este atunci echivalenta cu o ecuatie in m,n,p; x,y,z obtinuta prin substituire:

(m+x) n + (n+y) p + (p+z) m = 3 .

Desfacem parantezele si dam de

mn + np + pm + nx + py + mz = 3 .

De aici se vede cat de multe solutii are ecuatia data.
Este greu sa le parametrizam cumva "unic", nu cred ca are sens sa continuam in directia unei solutii.

De exemplu putem lua m si n incat sa difere prin 1, sa zicem ca luam
m = 101, n = -100,
atunci p(m+n) = p si partea cu
mn + p(m+n) = -10100 + p si putem sa il luam de exemplu pe
p a fi 10000 sau 10100 sau ceva intre...

dar nu numai.

In cazul cu m = 101, n = -100, p = 10103 = -mn +3 putem lua x,y,z in nenumarate moduri incat sa avem ce trebuie, anume

nx + py + mz = 0

este bucata din planul din spatiul Oxyz de ecuatie
-100 x + 101 y + 10103 z
care se afla in cubul [ 0, 1 )³ .


Nu cumva se cauta solutia in numere reale *pozitive* ?

Nu, am copiat-o exact asa cum este. Dar daca mi-ati putea-o rezolva in R+ as fi foarte multumita!

Sa rezolvam atunci

[Citat] Rezolvati in IR ecuatia in variabilele a,b,c mai mari sau egale cu 0: a [ b ] + b [ c ] + c [ a ] = 3

Scriem ca mai sus

a = m + x
b = n + y
c = p + z

si dam de

mn + np + pm + nx + py + mz = 3 .

Aici numerele m,n,p sunt naturale.
Dupa eventuale permutari ciclice putem presupune ca m este minim intre m,n,p.

Daca cumva m este mai mare sau egal cu 1, atunci toate trei numerele sunt, deci
mn + np + pm
este cel putin 1+1+1 = 3,
deci singura solutie posibila este cea in care chiar avem
mn = np = pm = 1 si nx = py = mz = 0, deci
m = n = p = 1 si
x = y = z = 0 .

Ramane sa studiem cazul in care avem m = 0.
Dam de ecuatia ramasa

np + nx + py = 3 .

Fara a restrange generalitatea putem presupune ca n este mai mic sau egal cu p.
Avem cazurile:

n = 0 . Atunci ecuatia py = 3 are o infinitate (numarabila) de solutii pentru care p este natural > 3 si y = 3/p .

n = 1 . Atunci dam de ecuatia 1 + p + x + py = 3 . Desigur ca pe este cel mult 2. Dam de solutia p=2 cu x=y=0 o data, apoi de o infinitate (continua) de solutii pentru p=1 si alegerea lui x,y in (0,1) cu x+y = 1 .

n de la 2 inainte este exclus, deoarece atunci np este cel putin 2.2 = 4 si trecem de 3 in membrul stang.

Acum mai trebuie puse cap la cap solutiile si cele obtinute prin permutari in locul in care am presupus fara a restrange generalitatea...

Va multumesc mult!