Un polinom impartit prin X-1, X-3 si X+1 da resturile 2, 3 si 4. Sa se afle restul impartirii polinomului prin (x-1)(x-3)(x+1).

Multumesc anticipat!

Am facut toate X-urile mari.
Am mai introdus in enunt P-ul, ca sa trec direct la rezolvare.

[Citat] Un polinom P(X) impartit prin X-1, X-3 si X+1 da resturile 2, 3 si 4. Sa se afle restul impartirii polinomului prin (X-1)(X-3)(X+1). Multumesc anticipat!

Scriem formula impartirii cu rest:

P(X) = (X-1)(X-3)(X+1) Q(x) + AXX + BX + C

unde R(X) = AXX + BX + C este restul cautat.
Introducem in cele de mai sus pentru X valorile speciale 1, 3, -1 si folosim cele date (teorema lui Bezout):

P(1) = 2
P(3) = 3
P(-1) = 4

de unde

R(1) = 2
R(3) = 3
R(-1) = 4

care este un sistem de cele trei ecuatii de mai sus in cele trei necunoscute A,B,C, coeficientii restului R(X) . Se rezolva sistemul (determinat, deoarece determinantul sistemului este de tip Vandermonde).

Solutiile sunt (cu calculatorul)


sage: var( 'A,B,C' );
sage:
sage: R(x) = A*x^2 + B*x + C
sage: solve( [ R(1) == 2, R(3) == 3, R(-1) == 4 ], [ A,B,C ] )
[[A == (3/8), B == -1, C == (21/8)]]


Restul este deci
( 3 XX - 8 X + 21 ) / 8 .