Aratati ca numarul A=4+4^1+...+4^444 se divide cu 7140. Va multumesc!

[Citat]

A posteriori, mai putem sa ne uitam atent la ce am facut si sa dam urmatoarea solutie de clasa a 5-a. Simplitatea calculelor este o aparenta care inseala.

(1) In primul rand vedem ca 444 se divide cu 3, de aceea putem grupa puterile asa cum vin in manunchiuri de cate trei, anume
4 + 4^2 + 4^3 apoi
4^4 + 4^5 + 4^6 apoi
4^7 + 4^8 + 4^9 apoi
...

Si in fiecare din aceste grupe putem da factor comun
4 + 4^2 + 4^3 = 84 = 2^2 . 3 . 7
deci numarul A este divizibil cu 2², cu 3 si cu 7.

(2) In al doilea rand vedem ca 444 se divide cu 4, de aceea putem grupa puterile asa cum vin in manunchiuri de cate patru, anume
4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 apoi
4^5 + 4^6 + 4^7 + 4^8 apoi
4^9 + 4^10 + 4^11 + 4^12 apoi
...

Si in fiecare din aceste grupe putem da factor comun
4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 = 340 = 2^2 . 5 . 17
deci numarul A este divizibil cu 2², cu 5 si cu 17.

(3) Deci A este divizibil cu 2², cu 3, cu 5, cu 7 si cu 17.
Deci si cu produsul acestor numere care este 7140.



Cu computerul tiparim de exemplu:
sage: R = IntegerModRing( 7140 )
sage: a = R(4)
sage: a
4
sage: a.parent()
Ring of integers modulo 7140

sage: sum( [ a^k for k in [1..444] ] )
0

[Citat] Aratati ca numarul A=4+4^1+...+4^444 se divide cu 7140. Va multumesc!