Aici chiar nu am nicio idee...

sistem cu 2 ecuatii: arcsin(x)*arcsin(y)=(pi)la patrat/12
arccos(x)*arccos(y)=(pi)la patrat/24



si ar mai fi unul: 2(sinx)la a treia=siny
2(cosx)la a treia=cosy

la al doilea doar sinx e la a 3-a sau si 2?

la al doilea: (am considerat ca doar sinx e la a 3-a)
ridici la patrat ambele ecuatii si iti da
4(sinx)^6=(siny)^2
4(cosx)^6=(cosy)^2
Daca le adunam
4(sinx)^6 +4(cosx)^6=1 notam (sinx)^2=a si (cosx)^2=b
si avem urmatorul sistem de rezolvat
a+b=1
4(a^3+b^3)=1 unde a si b sunt in [0,1]
4(a^3+b^3)=4(a+b)(a^2-ab+b^2)=4(a^2-ab+b^2)=1 si deci sistemul e echivalent cu

a+b=1 => b=1-a
4(a^2-ab+b^2)=1

inlocuind pe b in a doua ecuatie obtinem

4(a^2 -a(1-a)+(1-a)^2)=4(a^2-a+a^2 +1+a^2-2a)=1 Deci

12a^2-12a+4=1 deci 12a^2-12a+3=0 deci 4a^2-4a+1=0 deci (2a-1)^2=0 deci a=1/2
=>sinx=(radical din 2)/2 sau -(radical din 2)/2 ;

b=1-1/2=1/2
deci si cosx e (radical din 2)/2 sau -(radical din 2)/2 luand fiecare caz in parte vei obtine siny=sinx si cosy=cosx egal sau cu (radical din 2)/2 sau cu -(radical din 2)/2 si apoi afli x si y. Daca e ceva neclar sau ti se pare ceva gresit te rog sa ma atentionezi.

doar sinusul e la a treia

cealalta e cam dificil de scris fara latex dar o sa incerc

Observam de la inceput ca lucram in intervalul [0;pi/2] pentru a se indeplini conditiile de existenta si la arcsin si la arccos .

O sa scot o relatie intre arcsin(x) si arccos(x) . Ce inseamna arcsin(x)? Arcul care are sinusul x deci fie sin(t)=x si analaog cos(u)=x
deci sin(t)=cos(u) deci cos(pi/2-t)=cos(u) cosinus e descrescatoare pe [0;pi/2] decu u=pi/2-t deci u+t=pi/2

Deci avem asa: (ca sa simplific o sa notez arcsin(x)=a arcsin(y)=c arccos(x)=b arccos(y)=d

a+b=pi/2
c+d=pi/2
ac=(pi)^2/12
bd=(pi)^2/24
Din ultima relatie b=(pi)^2/24d ,dar d=(pi/2)-c deci
b=(pi)^2/24((pi/2)-c)=(pi)^2/12(pi-2c) Dar a =(pi)^2/12c inlocuid a si b in prima relatie obtinem :

(pi)^2/12c + (pi)^2/12(pi-2c)=pi/2 impartim cu pi/12 si ramane

pi/c + pi/(pi-2c)=6 eliminam numitorii si obtinem

pi(pi-2c) +pi*c =6c(pi-2c)
(pi)^2 -pi*c =6pi*c -12(c)^2 Trecem totul in dreapta si obtinem

12c^2 -7pi*c +pi^2=0
delta= 49(pi)^2- 48(pi)^2=pi^2

deci c1=(7pi+pi)/12=pi/3 si c2=(7pi-pi)/24=pi/4

Daca c=pi/3 a=pi/4 d=pi/6 b=pi/4 si apoi afli x si y x=(radical din 2)/2
y=(radical din 3)/2

Daca c=pi/4 a=pi/3 d=pi/4 b=pi/6 si apoi afli x si y x=(radical din 3)/2
y=(radical din 2)/2

Multumesc mult.