Fie ABCD un patrulater convex si O intersectia diagonalelor sale. Notam cu P,Q,R,S proiectiile lui O pe AB,BC,CD, respectiv pe DA. Aratati ca, daca:

atunci diagonalele (AC si BD) sunt perpendiculare.

[Citat] Fie ABCD un patrulater convex si O intersectia diagonalelor sale. Notam cu P,Q,R,S proiectiile lui O pe AB,BC,CD, respectiv pe DA. Aratati ca, daca: atunci diagonalele (AC si BD) sunt perpendiculare.

Problema nu are multa geometrie in ea, din pacate sunt obligat sa o apuc analitic, singurul mod de a porni la drum cu certitudinea ca mi se termina intr-o jumatate de ora. (Am incercat cateva secunde sa folosesc inversiunea... Tot la solutia de geometrie analitica m-am intors.)

Nota: Un calcul asemanator cred ca l-am mai facut pe acest site...

Din pacate nu prea am inteles aceasta solutie (sunt cam paralel cu geometria analitica)! Daca are cineva alta solutie, este binevenit sa o posteze! Multumesc oricum domnului gauss pt solutie !

Problema propusa se poate rezolva si fara geometrie analitica, trebuie doar sa stim sau sa ghicim o egalitate din care sa facem o inegalitate care sa ne conduca la solutie...

Modul de "compunere" al unei astfel de probleme este foarte simplu.
Se gaseste acea egalitate prezumptiva undeva, se vede ca intr-un caz particular si numai in acela are loc relatia data, un fel de trecere la minim / maxim, se propune problema.

Cel ce rezolva are alte probleme. Fie cunoaste ce se foloseste, fie incearca brut.
Eu am incercat brut, solutia mi-a mers din mana, geometria analitica folosita este usor de inteles la nivel de clasa a IX-a, poate mai putin faptul ca dreapta care trece prin (a,b) si (a',b') are ecuatia

| 1 1 1 |
| x a a' | = 0
| y b b' |

care este evidenta daca stim determinanti si vrem sa vedem ca punctele
(x,y) = (a,b) si (x'y') = (a',b') verifica...

Unde este o problema de trecere de la un pas la altul in solutie?

Motivul pentru care m-am decis pentru geometria analitica este simplu, in caz de olimpiada este mereu un atu, deoarece putem face geometria algbra (poate mai complicata) in care avem sansa sa "spargem expresii si sa le manipulam" intr-un mod pe care nu putem sa il vedem geometric. In cazul de fata am vazut prea multe patrate si m-am decis sa scriu ecuatii...

[Citat]

Aici nu prea inteleg ce inseamna (s,t) e directia lui AC!

[Citat] Aici nu prea inteleg ce inseamna (s,t) e directia lui AC!

AC este o dreapta care trece prin originea
O ( 0 , 0 ) .
Pentru a avea o notatie cat se poate de democratica mi-am luat un vector, (s,t) astfel incat parametrizarea dreptei AC sa fie data de

(x,y) = a (s,t) ,

unde a este un scalar real. (s,t) este un vector, s este prima componenta, t este cea de-a doua. As fi putut lua mai simplu poate (1,t) deoarece putem norma una din componente, dar asta inseamna ca s este diferit de zero sau ca ne aranjam a fi asa. Ne putem aranja chiar cu ambele drepte, dar atunci avem o situatie asimetrica, trebuie cred sa lucram cu (1,t) si (u,1) in loc de (s,t) si (u,v), nu are rost, pierdem homogenitatea si simetria in calcule. (Castigul este ca scriem mai putine litere, dar cand le scriem facem calculele o singura data pentru distanta la prima dreapta, apoi schimbam litere intre ele...)

Dupa ce am fixat directia suficient de generala (s,t) a lui AC, putem lua punctele

A = a(s,t) = ( as, at ) si
C = c(s,t) = ( cs, ct ) .

Asta este tot. Luam doar cateva puncte si am trecut de o treime din text.